Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos em R^2.
(x, y) in R^2: x^2+x y+y^2<0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A = (x,y)inR^2 mid x^2 + x y + y^2 < 0
é aberto em R^2. Vamos usar conceitos de topologia: pré‐imagem de conjunto aberto por função contínua e propriedades de forma quadrática.

Passo 2

Defina a função
f:R^2toR, f(x,y)=x^2 + x y + y^2
Como f é polinomial, ela é contínua. Note que
A = f^-1l((- infty,0)r)
Como (- infty,0) é aberto em R e pré‐imagem de aberto por função contínua é aberto, concluímos que A é aberto.

Passo 3

Podemos ainda observar que
x^2 + x y + y^2 = l(x + tfracy2r)^2 + tfrac34y^2 >= 0
para todo (x,y), com igualdade só em (0,0). Logo não há (x,y) tais que f(x,y)<0, isto é, A=emptyset. E sabemos que o conjunto vazio é aberto.

Resposta

O conjunto dado é aberto (é o conjunto vazio).

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