Resolva as equações diferenciais abaixo:
d^2 yd x^2-10 d yd x+25 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
d^2yd x^2 ;-;10,d yd x;+;25,y ;=;0,
que é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^r x. Substituindo na equação, obtemos o polinômio característico
r^2 ;-;10,r;+;25;=;0

Passo 3

Calculamos o discriminante do polinômio:
De<a = (-10)^2 - 4cdot1cdot25 = 100 - 100 = 0
Como De<a=0, há uma raiz dupla dada por
r = 102 = 5

Passo 4

Para uma raiz dupla r=5, a teoria diz que as soluções independentes são
y1(x) = e^5x e y2(x) = x,e^5x
Logo, a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr),e^5x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr),e^5x

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