Resolva:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função cuja derivada total nos dá a equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos reescrever a equação na forma:
onde
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 5
Agora, vamos determinar
usando a segunda condição
:
Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos
de volta na expressão de
:
Como estamos resolvendo uma equação diferencial, podemos igualar
a uma constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.