Resolva:
(x^2+1) d x+(y^2+y) d y=0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial (x^2+1) dx + (y^2+y) dy = 0. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função cuja derivada total nos dá a equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos reescrever a equação na forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
onde
M(x, y) = x^2 + 1 e N(x, y) = y^2 + y

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
partial Mpartial y = 0 e partial Npartial x = 0
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial psi(x, y) tal que:
partial psipartial x = M e partial psipartial y = N
Vamos encontrar psi(x, y) integrando M em relação a x:
psi(x, y) = integral M(x, y) dx = integral (x^2 + 1) dx = 13x^3 + x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que aparece na integração.

Passo 5

Agora, vamos determinar h(y) usando a segunda condição partial psipartial y = N:
partial psipartial y = d h(y)d y = y^2 + y
Integrando em relação a y:
h(y) = integral (y^2 + y) dy = 13y^3 + 12y^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos h(y) de volta na expressão de psi(x, y):
psi(x, y) = 13x^3 + x + 13y^3 + 12y^2 + C
Como estamos resolvendo uma equação diferencial, podemos igualar psi(x, y) a uma constante K:
13x^3 + x + 13y^3 + 12y^2 = K

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
13x^3 + x + 13y^3 + 12y^2 = C
onde C é a constante de integração.

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