Beleza, galera! Vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema está dentro do estudo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações homogêneas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão e nos permita separar as variáveis. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação é homogênea. Isso significa que podemos fazer uma substituição do tipo . Assim, podemos escrever .
Passo 3
Agora, precisamos derivar em relação a . Usando a regra do produto, temos:
Passo 4
Substituímos e na equação original:
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos isolar :
Passo 6
Rearranjando para separar as variáveis e :
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados. Antes disso, podemos simplificar a fração do lado esquerdo:
Podemos decompor essa fração usando frações parciais:
Resolvendo para , , e , encontramos , , e . Então:
Passo 8
Integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por: