Resolva:

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver a equação diferencial y' = 2xyy^2 - x^2 . Esse tipo de problema está dentro do estudo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações homogêneas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão e nos permita separar as variáveis. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação é homogênea. Isso significa que podemos fazer uma substituição do tipo v = yx . Assim, podemos escrever y = v x .

Passo 3

Agora, precisamos derivar y em relação a x . Usando a regra do produto, temos:
y' = v + x dvdx

Passo 4

Substituímos y e y' na equação original:
v + x dvdx = 2x(v x)(v x)^2 - x^2
Simplificando o denominador:
(v x)^2 - x^2 = x^2(v^2 - 1)
Então, a equação fica:
v + x dvdx = 2x^2 vx^2(v^2 - 1) = 2vv^2 - 1

Passo 5

Vamos isolar dvdx :
x dvdx = 2vv^2 - 1 - v = 2v - v(v^2 - 1)v^2 - 1 = -v^3 + 3vv^2 - 1

Passo 6

Rearranjando para separar as variáveis v e x :
v^2 - 1-v^3 + 3v dv = dxx
Simplificando o lado esquerdo:
v^2 - 1v(-v^2 + 3) dv = -v^2 - 1v(v^2 - 3) dv = dxx

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados. Antes disso, podemos simplificar a fração do lado esquerdo:
v^2 - 1v(v^2 - 3) = (v^2 - 1)v(v^2 -3)
Podemos decompor essa fração usando frações parciais:
v^2 - 1v(v^2 - 3) = Av + Bv + Cv^2 - 3
Resolvendo para A , B , e C , encontramos A = -13 , B = -13 , e C = 13 . Então:
v^2 - 1v(v^2 - 3) = -13v - v - 13(v^2 - 3)

Passo 8

Integramos ambos os lados:
integral ( -13v - v - 13(v^2 - 3) ) dv = integral 1x dx
Calculando as integrais:
-13 ln |v| - 16 ln |v^2 - 3| + 13 ln |v^2 - 3| = ln |x| + C
Simplificando:
-13 ln |v| + 16 ln |v^2 - 3| = ln |x| + C

Passo 9

Agora, substituímos v = yx de volta na equação:
-13 ln | yx | + 16 ln | ( yx )^2 - 3 | = ln |x| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
-13 ln | yx | + 16 ln | ( yx )^2 - 3 | = ln |x| + C
Onde C é a constante de integração.

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