Resolva
integral 2 x sen^4(x^2-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x,sen^4l(x^2-1r),dx
O conteúdo envolve integração por substituição (função composta) e redução de potências de seno.

Passo 2

Fazemos a substituição típica para capturar o x^2-1:
u = x^2-1 Longrightarrow du = 2x,dx

Passo 3

Com essa troca, a integral em x vira uma em u:
integral 2x,sen^4l(x^2-1r),dx = integral sen^4(u),du

Passo 4

Usamos a fórmula de redução de potência:
sen^4(u) =l(sen^2ur)^2 =l(1-cos(2u)2r)^2 =38-12cos(2u)+18cos(4u)

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral sen^4(u),du =integrall(38-12cos(2u)+18cos(4u)r)du =38u-12cdotsin(2u)2+18cdotsin(4u)4+C
=38,u-14sin(2u)+132sin(4u)+C

Passo 6

Voltando a x pela relação u=x^2-1:
integral 2x,sen^4l(x^2-1r),dx =38l(x^2-1r) -14sin!l(2(x^2-1)r) +132sin!l(4(x^2-1)r) +C

Resposta

boxed38(x^2-1) -14sinl(2x^2-2r) +132sinl(4x^2-4r) +C

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