Resolva
integral t g^3 x cos ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral tan^3x;cos^2x ,dx
O conteúdo aqui envolve identidades trigonométricas e substituição. Vamos usar a relação entre tan x, sin x e cos x, e em seguida a substituição u=cos x.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o integrando em termos de sin x e cos x.
tan^3x;cos^2x = sin^3xcos^3x,cos^2x = sin^3xcos x = sin^2x;sin xcos x = (1-cos^2x),tan x

Passo 3

Agora aplicamos a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx
e observamos que
tan x,dx = sin xcos x,dx = -duu
Assim o integral vira
integral (1-cos^2x),tan x,dx = integral (1-u^2)l(-duur) = -integral 1-u^2u,du

Passo 4

Dividindo a fração e integrando, temos
-integrall(1u-ur),du = -integral 1u,du + integral u,du = -lnlvert urvert + u^22 + C

Passo 5

Voltando para x com u=cos x, obtemos
cos^2x2 - lnllvert cos xrrvert + C

Resposta

integral tan^3x;cos^2x ,dx = cos^2x2 ;-;lnllvert cos xrrvert + C

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