Resolva
integral sen 3 x cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função sin(3x)cos(5x). O conteúdo principal é usar a fórmula de produto-para-soma em trigonometria para reescrever o produto de seno e cosseno como soma de senos.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin(a)cos(b)=tfrac12l(sin(a+b)+sin(a-b)r)
Aqui a=3x e b=5x, então
sin(3x)cos(5x) =tfrac12l(sin(8x)+sin(-2x)r) =tfrac12l(sin(8x)-sin(2x)r)

Passo 3

Substituímos na integral:
integral sin(3x)cos(5x),dx =integral tfrac12l(sin(8x)-sin(2x)r),dx =tfrac12integral sin(8x),dx;-;tfrac12integral sin(2x),dx

Passo 4

Usamos integral sin(kx),dx=-1kcos(kx). Logo,
integral sin(8x),dx=-tfrac18cos(8x), integral sin(2x),dx=-tfrac12cos(2x)
Assim,
tfrac12l(-tfrac18cos(8x)r);-;tfrac12l(-tfrac12cos(2x)r) =-tfrac116cos(8x)+tfrac14cos(2x)

Passo 5

Adicionamos a constante de integração C.

Resposta

integral sin(3x)cos(5x),dx =14cos(2x)-116cos(8x)+C

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