Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler
ou seja, um ODE em que os coeficientes de
são potências de
. Vamos usar o método padrão para equações de Euler (solução homogênea via equação característica) e depois encontrar uma solução particular por mudança de variável
.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea
Substituindo
obtemos a equação característica
Logo
Passo 3
Para tratar o termo não homogêneo fazemos a mudança de variável
As derivadas viram
Passo 4
Substituindo na equação original obtemos em termos de
ou seja
Passo 5
Procuramos uma solução particular da forma
Calculando
e substituindo em
, igualando coeficientes de
, achamos
Assim
Passo 6
Voltando a
, temos
e
Logo a solução geral é