Resolva:
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=ln ^2 x-ln x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler
x^2y''-2x,y'+2y=ln^2x-ln x^2
ou seja, um ODE em que os coeficientes de y'',y',y são potências de x. Vamos usar o método padrão para equações de Euler (solução homogênea via equação característica) e depois encontrar uma solução particular por mudança de variável t=ln x.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea
x^2y''-2x,y'+2y=0
Substituindo y=x^m obtemos a equação característica
m(m-1)-2m+2=0 Longrightarrow m^2-3m+2=0 Longrightarrow m=1;ou;m=2
Logo
yh(x)=C1,x+C2,x^2

Passo 3

Para tratar o termo não homogêneo fazemos a mudança de variável
t=ln x, z(t)=y(x)
As derivadas viram
x,y' = z', x^2y'' = z''-z'

Passo 4

Substituindo na equação original obtemos em termos de z(t)
(z''-z')-2(z')+2z = t^2-2t,
ou seja
z''-3z'+2z = t^2-2t

Passo 5

Procuramos uma solução particular da forma
zp(t)=A,t^2+B,t+C
Calculando
z'p=2A,t+B, z''p=2A
e substituindo em z''-3z'+2z=t^2-2t, igualando coeficientes de t^2,t,1, achamos
2A=1;Rightarrow;A=tfrac12, -6A+2B=-2;Rightarrow;B=tfrac12, 2A-3B+2C=0;Rightarrow;C=tfrac14
Assim
zp(t)=tfrac12,t^2+tfrac12,t+tfrac14

Passo 6

Voltando a x, temos t=ln x e
yp(x)=zp(ln x) =tfrac12,ln^2x+tfrac12,ln x+tfrac14
Logo a solução geral é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1,x+C2,x^2 +tfrac12,ln^2x+tfrac12,ln x+tfrac14

Resposta

y(x)=C1,x+C2,x^2 +tfrac12,ln^2x+tfrac12,ln x+tfrac14

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