Resolva:
(1+x^2)^2 y^prime prime+(1+x^2) y^prime-y=ln (1+x)^2+x-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
(1+x^2)^2,y'' + (1+x^2),y' - y ;=;lnl(1+xr)^2 ;+;x-1
O conteúdo envolvido é a resolução de equações lineares com coeficientes variáveis: primeiro achamos a solução geral da homogênea
(1+x^2)^2,y'' + (1+x^2),y' - y = 0,
e depois buscamos uma particular para incorporar o lado direito ln(1+x)^2 +x-1.

Passo 2

Mudança de variável t = arctan x.
Nesse caso x=tan t,
dtdx=11+x^2, d^2tdx^2=-2x(1+x^2)^2
Escrevendo y como função de t, ou seja y(x)=Y(t), obtemos
y' = Y',dtdx = Y'(t)1+x^2, y'' = ddxl(Y'1+x^2r) = Y''(1+x^2)^2 - 2x,Y'(1+x^2)^3
Substituindo na forma dividida por (1+x^2)^2, isto é
y'' + y'1+x^2 - y(1+x^2)^2 = ln(1+x)^2 + x-1(1+x^2)^2,
você chega a uma EDO em t de coeficientes mais simples (funções de tan t e sec t).

Passo 3

Resolver a equação homogênea em t:
Y''(t) + l(1-2tan tr),Y'(t) - Y(t) =0
Duas soluções independentes dessa homogênea são
Y1(t) = e^,tcos t, Y2(t) = e^,tsin t
Voltando a x com t=arctan x, temos
y1(x) = e^arctan xcosl(arctan xr) = e^arctan xraiz1+x^2,
y2(x) = e^arctan xsinl(arctan xr) = x,e^arctan xraiz1+x^2
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1,e^arctan xraiz1+x^2 + C2,x,e^arctan xraiz1+x^2

Passo 4

Agora fazemos variação de parâmetros para achar
com
Resolvendo esse sistema para , integrando e depois montando , obtém-se explicitamente a particular.

Passo 5

Somando homogênea e particular, a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x)
com
yh(x) = C1,e^arctan xraiz1+x^2 + C2,x,e^arctan xraiz1+x^2,
e yp(x) dada pela variação de parâmetros aplicada ao segundo membro ln(1+x)^2 + x-1.

Resposta

A solução geral da equação é
onde é a solução particular obtida por variação de parâmetros para o termo não homogêneo .

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