Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
O conteúdo envolvido é a resolução de equações lineares com coeficientes variáveis: primeiro achamos a solução geral da homogênea
e depois buscamos uma particular para incorporar o lado direito
.
Passo 2
Mudança de variável
.
Nesse caso ,
Nesse caso
Escrevendo
como função de
, ou seja
, obtemos
Substituindo na forma dividida por
, isto é
você chega a uma EDO em
de coeficientes mais simples (funções de
e
).
Passo 3
Resolver a equação homogênea em
:
Duas soluções independentes dessa homogênea são
Voltando a
com
, temos
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 4
Agora fazemos variação de parâmetros para achar
com
Resolvendo esse sistema para , integrando e depois montando
, obtém-se explicitamente a particular.
Passo 5
Somando homogênea e particular, a solução geral é
com
e
yp(x) dada pela variação de parâmetros aplicada ao segundo membro
ln(1+x)^2 + x-1 .
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é a solução particular obtida por variação de parâmetros para o termo não homogêneo
.