Resolva : y=y(x)
x^2-y^2-2 x y y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está assim:
x^2 - y^2 - 2x y y^prime = 0
Matéria envolvida: Equações Diferenciais de primeira ordem.
O que vamos precisar: Vamos usar uma substituição para simplificar a equação e depois integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar $ y’ $. Isso ajuda a entender melhor como $ y $ muda em relação a $ x $.
A equação original:
y'
Vamos mover $ 2x y y’ $ para o outro lado:
y
Agora, dividimos ambos os lados por $ 2x y $ para isolar $ y’ $:
x

Passo 3

Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
u = yx
Isso significa que $ y = u x $. Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
y = u x
Substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação que isolamos:
y

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para encontrar $ \frac{du}{dx} $. Primeiro, subtraímos $ u $ de ambos os lados:
dudx
Então, isolamos $ \frac{du}{dx} $:
u

Passo 5

Essa equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ u $ e $ x $ de lados opostos da equação. Vamos fazer isso:
u
Agora, integramos ambos os lados para encontrar $ u $ em função de $ x $.

Passo 6

Vamos integrar cada lado:
integral 2u1 - 3u^2 du = integral 1x dx
Integral do lado esquerdo: Faça uma substituição $ v = 1 - 3u^{2} $, então $ dv = -6u du $ ou $ -\frac{dv}{6} = u du $. A integral fica:
v = 1 - 3u^2
Integral do lado direito:
dv = -6u du

Passo 7

Igualamos as integrais e resolvemos para $ u $:
u
Multiplicando ambos os lados por -3:
-13 ln |1 - 3u^2| = ln |x| + C
Onde $ C’ $ é uma constante.
Podemos reescrever isso como:
ln |1 - 3u^2| = -3 ln |x| + C'
Onde $ K = e^{C’} $ é uma constante.

Passo 8

Voltando à substituição inicial $ u = \frac{y}{x} $, temos:
u = yx
Multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $:
1 - 3(yx)^2 = K x^-3
Ou:
x^2
Finalmente, isolando $ y $:
x^2 - 3y^2 = K x^-1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = raizx^2 + C x^-13
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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