Resolva :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está assim:
Matéria envolvida: Equações Diferenciais de primeira ordem.
O que vamos precisar: Vamos usar uma substituição para simplificar a equação e depois integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar $ y’ $. Isso ajuda a entender melhor como $ y $ muda em relação a $ x $.
A equação original:
Vamos mover $ 2x y y’ $ para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por $ 2x y $ para isolar $ y’ $:
Passo 3
Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que $ y = u x $. Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
Substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação que isolamos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para encontrar $ \frac{du}{dx} $. Primeiro, subtraímos $ u $ de ambos os lados:
Então, isolamos $ \frac{du}{dx} $:
Passo 5
Essa equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ u $ e $ x $ de lados opostos da equação. Vamos fazer isso:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar $ u $ em função de $ x $.
Passo 6
Vamos integrar cada lado:
Integral do lado esquerdo: Faça uma substituição $ v = 1 - 3u^{2} $, então $ dv = -6u du $ ou $ -\frac{dv}{6} = u du $. A integral fica:
Integral do lado direito:
Passo 7
Igualamos as integrais e resolvemos para $ u $:
Multiplicando ambos os lados por -3:
Onde $ C’ $ é uma constante.
Podemos reescrever isso como:
Onde $ K = e^{C’} $ é uma constante.
Passo 8
Voltando à substituição inicial $ u = \frac{y}{x} $, temos:
Multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $:
Ou:
Finalmente, isolando $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.