Resolva:
100010101/10101
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado pede para dividir os dois números dados em base binária e depois transformar o resultado nas bases octal e decimal. Informações fornecidas:
  • Numerador (em binário): 100010101_2.
  • Denominador (em binário): 10101_2.
    O que eu preciso entregar:
  • O quociente da divisão (em binário) e suas conversões para octal e decimal.

Passo 2

Como vou proceder (plano de ação, sem calcular ainda):
  • Fazer a divisão inteira usando a técnica de subtrair versões deslocadas (shifts) do divisor — isso é equivalente à divisão longa em base 2.
  • Anotar o quociente em binário e o resto.
  • Converter o quociente binário para octal agrupando bits de três e para decimal usando pesos posicionalmente.

Passo 3

Pequena aula rápida sobre os conceitos que vou usar (bem mastigada):
  • Em base binária cada dígito vale 2^k dependendo da posição (da direita para a esquerda: 2^0,2^1,2^2,\dots). Por exemplo, 10101_2 significa
1\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0.
  • Para dividir em binário posso usar o método de tentar subtrair o maior múltiplo do divisor que caiba no dividendo: esses múltiplos são o divisor deslocado para a esquerda por k posições (isto é, multiplicado por 2^k). Em cada deslocamento eu coloco um 1 no quociente naquela posição se couber, ou 0 se não couber.
  • Conversão binário → octal: agrupa-se os bits em grupos de três, da direita para a esquerda; cada grupo de três vira um dígito octal (0…7). Se necessário, adiciona-se zeros à esquerda para completar o último grupo.
  • Conversão binário → decimal: soma-se cada bit multiplicado por seu peso 2^k.

Passo 4

Vou primeiro obter valores decimais (apenas para conferência futura; tudo se faz em binário mas isso ajuda a checar):
  • Numerador:
100010101_2 = 1\cdot 2^8 + 0\cdot 2^7 + 0\cdot 2^6 + 0\cdot 2^5 + 1\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 256 + 16 + 4 + 1 = 277.
  • Denominador:
10101_2 = 1\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 16 + 4 + 1 = 21.
Portanto, em decimal a divisão é 277\div 21. Isso já indica que o quociente inteiro será próximo de 13 (pois 21\cdot 13 = 273).

Passo 5

Agora faço a divisão em binário usando shifts do divisor. Vou encontrar o maior k tal que (\text{divisor})\times 2^k \le (\text{dividendo}).
  • Divisor 10101_2 (que vale 21). Testando deslocamentos:
    • 10101_2 \ll 4 = 101010000_2 vale 21\cdot 16 = 336 — maior que 277, não cabe.
    • 10101_2 \ll 3 = 10101000_2 vale 21\cdot 8 = 168 — cabe em 277.
      Portanto o maior deslocamento útil é k=3. Vou subtrair esse múltiplo e registrar um 1 na posição de 2^3 do quociente.

Passo 6

Primeira subtração (todos os números apresentados em 9 bits para alinhar, com zeros à esquerda quando necessário):
\begin{array}{r} \text{dividendo} = 100010101_2 \quad(=277)\\[2pt] \text{subtrair }(10101_2\ll 3)=010101000_2 \quad(=168)\\[2pt]\hline \text{resto}_1 = 001101101_2 \quad(=109) \end{array}
No quociente, para k=3 eu coloco um 1.]

Passo 7

Agora tomo o resto 001101101_2 (109 decimal) e procuro o maior deslocamento do divisor que caiba nele:
  • 10101_2 \ll 2 = 1010100_2 vale 21\cdot 4 = 84 — cabe em 109.
  • 10101_2 \ll 3 já é maior que 109, então k=2 é o próximo que uso.
    Faço a subtração:
\begin{array}{r} \text{resto}_1 = 001101101_2 \quad(=109)\\[2pt] \text{subtrair }(10101_2\ll 2)=001010100_2 \quad(=84)\\[2pt]\hline \text{resto}_2 = 000011001_2 \quad(=25) \end{array}
No quociente, para k=2 coloco um 1.]

Passo 8

Agora o resto é 000011001_2 (25 decimal). Testo deslocamentos:
  • 10101_2 \ll 1 = 000101010_2 vale 21\cdot 2 = 42 — NÃO cabe em 25, então o bit correspondente a k=1 no quociente é 0.
  • 10101_2 \ll 0 = 000010101_2 vale 21 — cabe.
    Subtraio:
\begin{array}{r} \text{resto}_2 = 000011001_2 \quad(=25)\\[2pt] \text{subtrair }(10101_2\ll 0)=000010101_2 \quad(=21)\\[2pt]\hline \text{resto}_3 = 000000100_2 \quad(=4) \end{array}
No quociente, para k=0 coloco um 1. Para k=1 já colocamos 0.]

Passo 9

Resumo dos bits do quociente:
  • Para k=3: 1
  • Para k=2: 1
  • Para k=1: 0
  • Para k=0: 1
Logo o quociente em binário é
1101_2.
O resto final é
100_2 \quad(=4\text{ em decimal}).
Cheque rápido em decimal: 277\div 21 = 13 com resto 4. E 1101_2 = 8+4+0+1 = 13. Confere.

Passo 10

Converter o quociente binário 1101_2 para octal e decimal (explicando como):
  • Para decimal: usar pesos posicionalmente:
1101_2 = 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
  • Para octal: agrupa-se em blocos de 3 bits, da direita para a esquerda. 1101_2 → agrupar como 1\;101. Adiciono zeros à esquerda para completar o primeiro grupo de três: 001\;101. Cada trio vira um dígito octal:
    • 001_2 = 1_8
    • 101_2 = 5_8
      Logo o número em octal é 15_8.

Passo 11

Interpretação final (resumo didático):
  • A divisão inteira de 100010101_2 por 10101_2 produz quociente 1101_2 e resto 100_2.
  • Convertendo o quociente: 1101_2 = 15_8 = 13_{10}.

Resposta

Quociente (binário): 1101_2
Quociente (octal): 15_8
Quociente (decimal): 13

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