e pede que a gente encontre a solução geral y(x). Informações relevantes que já podemos extrair do enunciado: \bullet O lado direito é função apenas de y, ou seja, depende só de y e não de x. \bullet Se y for constante e satisfizer y^{2}-4=0, então essa constante é solução. Portanto, y=2 e y=-2 são soluções constantes (equilíbrios) — isso vem diretamente de substituir na equação.
Não vamos ainda desenvolver a solução; só listei o que o problema dá e o que ele pede.
Passo 2
Como o lado direito depende só de y, o método mais direto é separar variáveis: colocar todos os termos com y multiplicando dy e todos os termos com x multiplicando dx. Isso permite integrar cada lado. Esse método é o mais simples aqui porque a derivada aparece isolada como \frac{dy}{dx} e a função do lado direito é só de y.
Passo 3
Faço a separação de variáveis: escrevo a equação como
\frac{dy}{y^{2}-4}=dx.
Aviso importante: nessa etapa não podemos dividir por zero. Por isso descartamos temporariamente as soluções constantes y=2 e y=-2 (que já identificamos no Passo 1) porque nelas o denominador y^{2}-4 é zero. As soluções não-constantes satisfarão a equação separada acima.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. O lado à esquerda é uma integral racional que é mais fácil com frações parciais. Vamos decompor
Chamo C_{1}=e^{4C}>0. Retirando o valor absoluto e incorporando o sinal ao constante, posso escrever
\frac{y-2}{y+2} = K e^{4x},
onde K é uma constante real não nula em princípio (o caso K=0 corresponde a y=2, já listado como solução especial).
Passo 7
Agora resolvo algebricamente para y. Multiplico ambos os lados por y+2:
y-2 = K e^{4x}(y+2).
Reagrupando os termos com y:
y - K e^{4x}\,y = 2 + 2K e^{4x}.
Fatorando y:
y\bigl(1 - K e^{4x}\bigr) = 2\bigl(1 + K e^{4x}\bigr).
Finalmente,
y(x) = 2\,\frac{1 + K e^{4x}}{1 - K e^{4x}}.
Aqui K é uma constante arbitrária real (casos limite e constantes especiais discutidos abaixo). Note que a solução é bem definida enquanto 1-K e^{4x}\neq 0.
Passo 8
Comentário sobre constantes especiais e domínio: \bullet As soluções constantes y=2 e y=-2 já foram identificadas e também fazem parte do conjunto de soluções (elas não surgem diretamente da divisão que fizemos). \bullet A expressão geral y(x)=2\frac{1+K e^{4x}}{1-K e^{4x}} cobre todas as soluções não-constantes; se em particular K=0 recuperamos y\equiv 2. O caso y\equiv -2 não aparece pela fórmula com K finito porque na separação dividimos por y^{2}-4; por isso listamos y=-2 separadamente. \bullet Há pontos onde a solução explodirá (assimptotas verticais): quando 1-K e^{4x}=0, isto é, para x=\tfrac{1}{4}\ln\!\bigl(\tfrac{1}{K}\bigr) se K>0. Isso é normal: soluções de equações autônomas podem ter singularidades em tempo finito dependendo da constante de integração.
Passo 9
Forma alternativa (às vezes útil): escrevendo K=e^{C'} e manipulando com funções hiperbólicas, a solução pode também ser escrita em termos de tangente hiperbólica ou cotangente hiperbólica. Por exemplo, com mudança de constante uma forma equivalente é
y(x)=2\,\coth\bigl(-2x + C''\bigr),
mas a forma racional com K já é direta e prática para usar em exames.
Resposta
y(x)=2 y(x)=-2 y(x)=2\,\dfrac{1+K e^{4x}}{1-K e^{4x}},\quadonde K é constante real e a solução está definida para 1-K e^{4x}\neq 0.