Resolva dy/dx = y^2 - 4.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=y^{2}-4
e pede que a gente encontre a solução geral y(x). Informações relevantes que já podemos extrair do enunciado:
\bullet O lado direito é função apenas de y, ou seja, depende só de y e não de x.
\bullet Se y for constante e satisfizer y^{2}-4=0, então essa constante é solução. Portanto, y=2 e y=-2 são soluções constantes (equilíbrios) — isso vem diretamente de substituir na equação.
Não vamos ainda desenvolver a solução; só listei o que o problema dá e o que ele pede.

Passo 2

Como o lado direito depende só de y, o método mais direto é separar variáveis: colocar todos os termos com y multiplicando dy e todos os termos com x multiplicando dx. Isso permite integrar cada lado. Esse método é o mais simples aqui porque a derivada aparece isolada como \frac{dy}{dx} e a função do lado direito é só de y.

Passo 3

Faço a separação de variáveis: escrevo a equação como
\frac{dy}{y^{2}-4}=dx.
Aviso importante: nessa etapa não podemos dividir por zero. Por isso descartamos temporariamente as soluções constantes y=2 e y=-2 (que já identificamos no Passo 1) porque nelas o denominador y^{2}-4 é zero. As soluções não-constantes satisfarão a equação separada acima.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. O lado à esquerda é uma integral racional que é mais fácil com frações parciais. Vamos decompor
\frac{1}{y^{2}-4}=\frac{1}{(y-2)(y+2)}=\frac{A}{y-2}+\frac{B}{y+2}.
Multiplicando por (y-2)(y+2) obtemos
1 = A(y+2)+B(y-2).
Tomando y=2 1=4A então A=\tfrac{1}{4}. Tomando y=-2 1=-4B então B=-\tfrac{1}{4}. Portanto
\frac{1}{y^{2}-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\right).

Passo 5

Integro os dois lados usando a decomposição:
\int \frac{dy}{y^{2}-4}=\frac{1}{4}\int\left(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\right)dy =\frac{1}{4}\bigl(\ln|y-2|-\ln|y+2|\bigr)+C_{1}.
No lado direito temos \int dx = x + C_{2}. Unificando as constantes (subtraindo C_{2} para o lado esquerdo) obtemos
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right| = x + C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 6

Multiplico por 4 e exponencio para isolar a razão:
\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right| = 4x + 4C \quad\Rightarrow\quad \left|\frac{y-2}{y+2}\right| = e^{4C}e^{4x}.
Chamo C_{1}=e^{4C}>0. Retirando o valor absoluto e incorporando o sinal ao constante, posso escrever
\frac{y-2}{y+2} = K e^{4x},
onde K é uma constante real não nula em princípio (o caso K=0 corresponde a y=2, já listado como solução especial).

Passo 7

Agora resolvo algebricamente para y. Multiplico ambos os lados por y+2:
y-2 = K e^{4x}(y+2).
Reagrupando os termos com y:
y - K e^{4x}\,y = 2 + 2K e^{4x}.
Fatorando y:
y\bigl(1 - K e^{4x}\bigr) = 2\bigl(1 + K e^{4x}\bigr).
Finalmente,
y(x) = 2\,\frac{1 + K e^{4x}}{1 - K e^{4x}}.
Aqui K é uma constante arbitrária real (casos limite e constantes especiais discutidos abaixo). Note que a solução é bem definida enquanto 1-K e^{4x}\neq 0.

Passo 8

Comentário sobre constantes especiais e domínio:
\bullet As soluções constantes y=2 e y=-2 já foram identificadas e também fazem parte do conjunto de soluções (elas não surgem diretamente da divisão que fizemos).
\bullet A expressão geral y(x)=2\frac{1+K e^{4x}}{1-K e^{4x}} cobre todas as soluções não-constantes; se em particular K=0 recuperamos y\equiv 2. O caso y\equiv -2 não aparece pela fórmula com K finito porque na separação dividimos por y^{2}-4; por isso listamos y=-2 separadamente.
\bullet Há pontos onde a solução explodirá (assimptotas verticais): quando 1-K e^{4x}=0, isto é, para x=\tfrac{1}{4}\ln\!\bigl(\tfrac{1}{K}\bigr) se K>0. Isso é normal: soluções de equações autônomas podem ter singularidades em tempo finito dependendo da constante de integração.

Passo 9

Forma alternativa (às vezes útil): escrevendo K=e^{C'} e manipulando com funções hiperbólicas, a solução pode também ser escrita em termos de tangente hiperbólica ou cotangente hiperbólica. Por exemplo, com mudança de constante uma forma equivalente é
y(x)=2\,\coth\bigl(-2x + C''\bigr),
mas a forma racional com K já é direta e prática para usar em exames.

Resposta

y(x)=2
y(x)=-2
y(x)=2\,\dfrac{1+K e^{4x}}{1-K e^{4x}},\quadonde K é constante real e a solução está definida para 1-K e^{4x}\neq 0.

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