Resolva dy/dx = e(-x2), y(3) = 5.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
\frac{dy}{dx} = e^{-x^2},\qquad y(3)=5.
Informações dadas:
  • A equação diferencial relaciona a derivada de y com uma função de x: \dfrac{dy}{dx}=e^{-x^2}.
  • A condição inicial fornece o valor de y em x=3: y(3)=5.
    Objetivo explícito: determinar a expressão de y(x) que satisfaça tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.

Passo 2

Ideia de solução (explicada passo a passo): quando uma equação diferencial está na forma \dfrac{dy}{dx}=f(x), podemos encontrar y(x) integrando f(x) em relação a x — isso vem diretamente do Teorema Fundamental do Cálculo. Não é preciso separar variáveis nem fazer truques porque o lado direito depende só de x.

Passo 3

Transformação básica e integração: escrevemos
dy = e^{-x^2}\,dx.
Integrando ambos os lados em termos de x (ou seja, encontrando uma primitiva), obtemos uma família de soluções:
y(x) = \int e^{-x^2}\,dx + C,
onde C é uma constante de integração.

Passo 4

Observação importante sobre a integral \int e^{-x^2}\,dx: essa integral não tem primitiva elementar expressável com funções polinomiais, exponenciais e trigonométricas usuais. Duas formas práticas de proceder aqui são:
  • escrever a solução com uma integral definida (usando o Teorema Fundamental do Cálculo), ou
  • expressar a primitiva em termos da função erro \operatorname{erf}.
Vou primeiro usar a integral definida, que é a forma mais direta para aplicar a condição inicial.

Passo 5

Usando a integral definida para incorporar a condição inicial com facilidade: pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para qualquer ponto de referência x_0 temos
y(x)-y(x_0)=\int_{x_0}^{x} e^{-t^2}\,dt.
Escolhemos x_0=3 porque a condição inicial está em x=3. Assim
y(x)-y(3)=\int_{3}^{x} e^{-t^2}\,dt.
Como y(3)=5, obtemos
y(x)=5+\int_{3}^{x} e^{-t^2}\,dt.
Essa é uma solução válida e direta, e já incorpora a condição inicial sem precisar achar C separadamente.

Passo 6

Forma alternativa usando a função erro \operatorname{erf}: a função erro é definida por
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt.
A partir daí podemos escrever a integral entre 3 e x como
\int_{3}^{x} e^{-t^2}\,dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\bigl(\operatorname{erf}(x)-\operatorname{erf}(3)\bigr).
Substituindo na solução anterior, obtemos a forma equivalente
y(x)=5+\frac{\sqrt{\pi}}{2}\bigl(\operatorname{erf}(x)-\operatorname{erf}(3)\bigr).
Essa forma é útil se você tiver tabelas ou uma calculadora que forneça valores de \operatorname{erf}.

Passo 7

Verificação rápida (checagem conceitual): derivando a solução em forma de integral obtém-se
\frac{d}{dx}\left(5+\int_{3}^{x} e^{-t^2}\,dt\right)=e^{-x^2},
pela regra do Teorema Fundamental do Cálculo, e a condição y(3)=5 é satisfeita por construção. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=5+\displaystyle\int_{3}^{x} e^{-t^{2}}\,dt\n
y(x)=5+\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\bigl(\operatorname{erf}(x)-\operatorname{erf}(3)\bigr)

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