Resolva dy/dx = e(-x2), y(3) = 5.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
Informações dadas:
- A equação diferencial relaciona a derivada de
com uma função de : . - A condição inicial fornece o valor de
em : .
Objetivo explícito: determinar a expressão deque satisfaça tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.
Passo 2
Ideia de solução (explicada passo a passo): quando uma equação diferencial está na forma
, podemos encontrar
integrando
em relação a
— isso vem diretamente do Teorema Fundamental do Cálculo. Não é preciso separar variáveis nem fazer truques porque o lado direito depende só de
.
Passo 3
Transformação básica e integração: escrevemos
Integrando ambos os lados em termos de
(ou seja, encontrando uma primitiva), obtemos uma família de soluções:
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Observação importante sobre a integral
: essa integral não tem primitiva elementar expressável com funções polinomiais, exponenciais e trigonométricas usuais. Duas formas práticas de proceder aqui são:
- escrever a solução com uma integral definida (usando o Teorema Fundamental do Cálculo), ou
- expressar a primitiva em termos da função erro
.
Vou primeiro usar a integral definida, que é a forma mais direta para aplicar a condição inicial.
Passo 5
Usando a integral definida para incorporar a condição inicial com facilidade: pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para qualquer ponto de referência
temos
Escolhemos
porque a condição inicial está em
. Assim
Como
, obtemos
Essa é uma solução válida e direta, e já incorpora a condição inicial sem precisar achar
separadamente.
Passo 6
Forma alternativa usando a função erro
: a função erro é definida por
A partir daí podemos escrever a integral entre
e
como
Substituindo na solução anterior, obtemos a forma equivalente
Essa forma é útil se você tiver tabelas ou uma calculadora que forneça valores de
.
Passo 7
Verificação rápida (checagem conceitual): derivando a solução em forma de integral obtém-se
pela regra do Teorema Fundamental do Cálculo, e a condição
é satisfeita por construção. Portanto a solução está correta.