Resolva a e.d.o. abaixo, usando o método dos coeficientes indeterminados
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=6 x^{2}+2-12 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=6x^{2}+2-12e^{3x}.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes, de segunda ordem.
  • O termos da segunda membro são a soma de duas partes distintas:
    • um polinômio em x: \;6x^{2}+2\; (grau 2);
    • um termo exponencial: \;-12e^{3x}\;.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x), ou seja, a solução geral da homogênea mais uma solução particular adequada ao segundo membro, usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada primeiro. A homogênea é
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=0.
Formamos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^{2}-6r+9=0.
Calculamos as raízes: o polinômio é um quadrado perfeito,
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2},
portanto a raiz é r=3 com multiplicidade 2.
Quando a raiz r=3 tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos achar uma solução particular y_{p}\) para a equação completa, somando soluções particulares para cada parcela do segundo membro: uma para o polinômio \(6x^{2}+2\) e outra para \(-12e^{3x}\). Ou seja, \[y_{p}=y_{p1}+y_{p2},
onde y_{p1} trata do polinômio e y_{p2} do exponencial.
Começando pelo polinômio 6x^{2}+2. Pelo método dos coeficientes indeterminados, para um segundo membro polinomial de grau 2 tentamos
y_{p1}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C a determinar. Isso é válido porque r=0 não é raiz da característica (logo não há ressonância com termos polinomiais multiplicados por e^{0x}).
Calcule as derivadas:
y'_{p1}(x)=2Ax+B, \qquad y''_{p1}(x)=2A.
Substituindo na equação diferencial (aplicando o operador linear L[y]=y''-6y'+9y):
L[y_{p1}] =2A-6(2Ax+B)+9(Ax^{2}+Bx+C).
Organizando por potências de x:
L[y_{p1}] =9A x^{2}+(-12A+9B)x+(2A-6B+9C).
Esse resultado deve ser igual à parte polinomial do segundo membro, isto é, 6x^{2}+0\cdot x+2. Igualando coeficientes termo a termo:
\begin{cases} 9A=6,\\[4pt] -12A+9B=0,\\[4pt] 2A-6B+9C=2. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da primeira equação: A=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.\] - Substituindo em \(-12A+9B=0: -12\cdot\frac{2}{3}+9B=0 \quad\Rightarrow\quad -8+9B=0 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{8}{9}.
  • Substituindo A e B na terceira equação: 2\cdot\frac{2}{3}-6\cdot\frac{8}{9}+9C=2.Calcule passo a passo: 2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3},\qquad -6\cdot\frac{8}{9}=-\frac{48}{9}=-\frac{16}{3}.Então \frac{4}{3}-\frac{16}{3}+9C=2 \quad\Rightarrow\quad -\frac{12}{3}+9C=2 \quad\Rightarrow\quad -4+9C=2,portanto 9C=6 e C=\frac{2}{3}.
Portanto a solução particular para a parte polinomial é
y_{p1}(x)=\frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}.]

Passo 4

Agora a parte exponencial -12e^{3x}. Se tentássemos K e^{3x} haveria ressonância porque e^{3x} e x e^{3x} já aparecem na solução homogênea (raízes repetidas). A raiz r=3 tem multiplicidade 2, então devemos multiplicar a ansatz por x^{2}. Como o polinômio multiplicando e^{3x} no segundo membro é de grau 0, tentamos
y_{p2}(x)=D x^{2} e^{3x},
com D a constante a determinar.
Calculemos as derivadas com cuidado. Primeiro,
y_{p2}(x)=D x^{2} e^{3x}.
Usando produto e regra da cadeia:
y'_{p2}(x)=D\big(2x e^{3x}+x^{2}\cdot 3 e^{3x}\big)=D e^{3x}(2x+3x^{2}).
Derivando novamente:
y''_{p2}(x)=D e^{3x}\big(2+6x\big)+3D e^{3x}\big(2x+3x^{2}\big).
Agrupando os termos:
y''_{p2}(x)=D e^{3x}\big(2+6x+6x+9x^{2}\big)=D e^{3x}\big(2+12x+9x^{2}\big).
Agora aplicamos o operador:
L[y_{p2}]=y''_{p2}-6y'_{p2}+9y_{p2} = D e^{3x}\Big[(2+12x+9x^{2})-6(2x+3x^{2})+9x^{2}\Big].
Calcule o que está dentro dos colchetes:
(2+12x+9x^{2})-12x-18x^{2}+9x^{2}=2+(12x-12x)+(9-18+9)x^{2}=2.
Portanto
L[y_{p2}]=D\cdot 2\, e^{3x}=2D e^{3x}.
Queremos que isso seja igual ao termo exponencial do segundo membro, isto é, -12e^{3x}. Assim
2D e^{3x}=-12 e^{3x}\quad\Rightarrow\quad 2D=-12\quad\Rightarrow\quad D=-6.
Logo
y_{p2}(x)=-6x^{2}e^{3x}.

Passo 5

A solução particular total é a soma das duas partes:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x) =\frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}-6x^{2}e^{3x}.
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea y_{h} com y_{p}:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x}-6x^{2}e^{3x}+\frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}.
Se quiser, pode agrupar os termos com e^{3x}:
y(x)=e^{3x}\big(C_{1}+C_{2}x-6x^{2}\big)+\frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}.
Boa! Agora você tem a forma geral; na prova, siga esses passos: (1) solução homogênea via equação característica; (2) separar o segundo membro em partes simples; (3) para cada parte adotar ansatz apropriado lembrando de multiplicar por x^{m} em caso de ressonância; (4) substituir e ajustar coeficientes.

Resposta

y(x)=e^{3x}\big(C_{1}+C_{2}x-6x^{2}\big)+\frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}.

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