O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados:
A equação é linear, com coeficientes constantes, de segunda ordem.
O termos da segunda membro são a soma de duas partes distintas:
um polinômio em x: \;6x^{2}+2\; (grau 2);
um termo exponencial: \;-12e^{3x}\;.
Precisamos encontrar a solução geral y(x), ou seja, a solução geral da homogênea mais uma solução particular adequada ao segundo membro, usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada primeiro. A homogênea é
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+9y=0.
Formamos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^{2}-6r+9=0.
Calculamos as raízes: o polinômio é um quadrado perfeito,
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2},
portanto a raiz é r=3 com multiplicidade 2.
Quando a raiz r=3 tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos achar uma solução particular y_{p}\) para a equação completa, somando soluções particulares para cada parcela do segundo membro: uma para o polinômio \(6x^{2}+2\) e outra para \(-12e^{3x}\). Ou seja,
\[y_{p}=y_{p1}+y_{p2},
onde y_{p1} trata do polinômio e y_{p2} do exponencial.
Começando pelo polinômio 6x^{2}+2. Pelo método dos coeficientes indeterminados, para um segundo membro polinomial de grau 2 tentamos
y_{p1}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C a determinar. Isso é válido porque r=0 não é raiz da característica (logo não há ressonância com termos polinomiais multiplicados por e^{0x}).
Calcule as derivadas:
y'_{p1}(x)=2Ax+B, \qquad y''_{p1}(x)=2A.
Substituindo na equação diferencial (aplicando o operador linear L[y]=y''-6y'+9y):
L[y_{p1}] =2A-6(2Ax+B)+9(Ax^{2}+Bx+C).
Organizando por potências de x:
L[y_{p1}] =9A x^{2}+(-12A+9B)x+(2A-6B+9C).
Esse resultado deve ser igual à parte polinomial do segundo membro, isto é, 6x^{2}+0\cdot x+2. Igualando coeficientes termo a termo:
Da primeira equação: A=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.\]
- Substituindo em \(-12A+9B=0:-12\cdot\frac{2}{3}+9B=0 \quad\Rightarrow\quad -8+9B=0 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{8}{9}.
Substituindo A e B na terceira equação:2\cdot\frac{2}{3}-6\cdot\frac{8}{9}+9C=2.Calcule passo a passo:2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3},\qquad -6\cdot\frac{8}{9}=-\frac{48}{9}=-\frac{16}{3}.Então\frac{4}{3}-\frac{16}{3}+9C=2 \quad\Rightarrow\quad -\frac{12}{3}+9C=2 \quad\Rightarrow\quad -4+9C=2,portanto 9C=6 eC=\frac{2}{3}.
Portanto a solução particular para a parte polinomial é
Agora a parte exponencial -12e^{3x}. Se tentássemos K e^{3x} haveria ressonância porque e^{3x} e x e^{3x} já aparecem na solução homogênea (raízes repetidas). A raiz r=3 tem multiplicidade 2, então devemos multiplicar a ansatz por x^{2}. Como o polinômio multiplicando e^{3x} no segundo membro é de grau 0, tentamos
Boa! Agora você tem a forma geral; na prova, siga esses passos: (1) solução homogênea via equação característica; (2) separar o segundo membro em partes simples; (3) para cada parte adotar ansatz apropriado lembrando de multiplicar por x^{m} em caso de ressonância; (4) substituir e ajustar coeficientes.