Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea e pede para resolvê-la pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=e^{x}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma equação linear com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é e^{x}.
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0.
Para isso usamos a equação característica: substitui-se y=e^{rx}, levando a
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo essa quadrática:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
então há uma raiz real dupla r=1 (multiplicidade 2).

Passo 3

Quando a equação característica tem raiz dupla r=1, a forma da solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando: para raiz simples r tem-se e^{rx}; para raiz de multiplicidade 2, inclui-se também o fator x multiplicando e^{rx}.

Passo 4

Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular y_{p} da equação completa. O termo de força é e^{x}. Se e^{ax} aparece na forçante e a é raiz da característica de multiplicidade m, então a tentativa padrão é multiplicar a forma P(x)e^{ax} por x^{m}, onde P(x) é um polinômio do mesmo grau do polinômio na forçante (aqui grau 0, constante). No nosso caso a=1 e 1 é raiz de multiplicidade 2, logo devemos multiplicar por x^{2}. Assim fazemos a tentativa
y_{p}(x)=A x^{2}e^{x},
onde A é constante desconhecida a determinar.

Passo 5

Calcular y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} detalhadamente (uso da regra do produto). Começando por
y_{p}(x)=A x^{2}e^{x}.
Derivando uma vez:
y_{p}^{\prime}(x)=A\bigl(2x e^{x} + x^{2} e^{x}\bigr)=A e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr).
Derivando segunda vez (derivada de e^{x}(x^{2}+2x)):
y_{p}^{\prime\prime}(x)=A\left[e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr) + e^{x}\bigl(2x+2\bigr)\right] = A e^{x}\bigl(x^{2}+4x+2\bigr).
Cada passo usa a regra: \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x}u(x)\bigr)=e^{x}u(x)+e^{x}u'(x).

Passo 6

Substituir y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} na equação diferencial para obter A. Calculamos o lado esquerdo:
y_{p}^{\prime\prime}-2y_{p}^{\prime}+y_{p} = A e^{x}\bigl(x^{2}+4x+2\bigr) -2A e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr) + A e^{x}x^{2}.
Fatorando A e^{x}:
= A e^{x}\Bigl(x^{2}+4x+2 -2x^{2}-4x + x^{2}\Bigr).
Agora simplificando os termos dentro do parêntese:
x^{2}+4x+2 -2x^{2}-4x + x^{2} = 2.
Portanto
y_{p}^{\prime\prime}-2y_{p}^{\prime}+y_{p} = 2A e^{x}.

Passo 7

Igualar ao termo não homogêneo e^{x} para determinar A:
2A e^{x} = e^{x} \quad\Rightarrow\quad 2A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}e^{x}.

Passo 8

Construir a solução geral somando homogênea e particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{x} + \tfrac{1}{2}x^{2}e^{x}.
Fatorando e^{x} fica mais compacto:
y(x)=e^{x}\left(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{x^{2}}{2}\right).

Passo 9

(Verificação rápida) Se alguém quiser checar, pode derivar essa y(x), calcular y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y e verá que os termos com C_{1} e C_{2} se anulam (pois vêm da solução homogênea) e sobra e^{x} proveniente de \tfrac{1}{2}x^{2}e^{x} como demonstrado antes — ou seja, está correta.

Resposta

y(x)=e^{x}\left(C_{1}+C_{2}x+\dfrac{x^{2}}{2}\right)

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