Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea e pede para resolvê-la pelo método dos coeficientes indeterminados:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É uma equação linear com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (lado direito) é
. - A tarefa é encontrar a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica: substitui-se
, levando a
Resolvendo essa quadrática:
então há uma raiz real dupla
(multiplicidade 2).
Passo 3
Quando a equação característica tem raiz dupla
, a forma da solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando: para raiz simples
tem-se
; para raiz de multiplicidade 2, inclui-se também o fator
multiplicando
.
Passo 4
Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular
da equação completa. O termo de força é
. Se
aparece na forçante e
é raiz da característica de multiplicidade
, então a tentativa padrão é multiplicar a forma
por
, onde
é um polinômio do mesmo grau do polinômio na forçante (aqui grau
, constante). No nosso caso
e
é raiz de multiplicidade
, logo devemos multiplicar por
. Assim fazemos a tentativa
onde
é constante desconhecida a determinar.
Passo 5
Calcular
e
detalhadamente (uso da regra do produto). Começando por
Derivando uma vez:
Derivando segunda vez (derivada de
):
Cada passo usa a regra:
.
Passo 6
Substituir
,
e
na equação diferencial para obter
. Calculamos o lado esquerdo:
Fatorando
:
Agora simplificando os termos dentro do parêntese:
Portanto
Passo 7
Igualar ao termo não homogêneo
para determinar
:
Logo a solução particular é
Passo 8
Construir a solução geral somando homogênea e particular:
Fatorando
fica mais compacto:
Passo 9
(Verificação rápida) Se alguém quiser checar, pode derivar essa
, calcular
e verá que os termos com
e
se anulam (pois vêm da solução homogênea) e sobra
proveniente de
como demonstrado antes — ou seja, está correta.