Resolva as equações diferenciais dadas pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}+3 y=-48 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea por coeficientes indeterminados:
y'' + 3y = -48x^{2}.
O que devemos encontrar é a solução geral y(x), isto é, a soma de uma solução da homogênea associada e de uma solução particular que satisfaça a equação com o termo do lado direito -48x^{2}.

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
y'' + 3y = 0.
Para isso usamos a equação característica. Se propomos y=e^{rx}, obtemos
r^{2}+3=0.
As raízes são r=\pm i\sqrt{3}. Isso implica que as soluções independentes reais são \cos(\sqrt{3}x) e \sin(\sqrt{3}x). Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{3}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{3}x\right),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos procurar uma solução particular y_{p} da equação completa. O termo do lado direito é um polinômio de grau 2, -48x^{2}. Pelo método dos coeficientes indeterminados, devemos tentar uma solução particular que seja um polinômio de mesmo grau:
y_{p}(x)=ax^{2}+bx+c,
com a,b,c constantes a determinar.
Antes de usar essa forma, verificamos se há ressonância: se alguma parte do termo proposto for solução da homogênea. A homogênea tem soluções trigonométricas \cos(\sqrt{3}x) e \sin(\sqrt{3}x), que não são polinômios, então não há ressonância. Portanto a forma escolhida é adequada (não precisamos multiplicar por x).

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x)=2ax+b, \qquad y_{p}''(x)=2a.
Substituímos na equação y''+3y=-48x^{2}:
2a + 3\bigl(ax^{2}+bx+c\bigr) = -48x^{2}.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
3a\,x^{2} + 3b\,x + (2a + 3c) = -48x^{2} + 0\cdot x + 0.

Passo 5

Agora igualamos coeficientes de potências de x nos dois lados para obter um sistema para a,b,c:
  • Coeficiente de x^{2}: \;3a = -48.
  • Coeficiente de x: \;3b = 0.
  • Termo constante: \;2a + 3c = 0.
Resolvendo:
a = \frac{-48}{3} = -16, \qquad b = 0,
e substituindo a na última equação:
2(-16) + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad -32 + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = \frac{32}{3}.

Passo 6

Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(x) = -16x^{2} + 0\cdot x + \frac{32}{3} = -16x^{2} + \frac{32}{3}.
Verificação rápida: calcular y_{p}''+3y_{p}:
y_{p}''=2a=2(-16)=-32, \qquad 3y_{p}=3\left(-16x^{2}+\frac{32}{3}\right)=-48x^{2}+32,
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y_{p}''+3y_{p} = -32 + (-48x^{2}+32) = -48x^{2},
que coincide com o lado direito. Está correta.
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{3}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{3}x\right)-16x^{2}+\dfrac{32}{3}

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