Resolva as equações diferenciais dadas pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea por coeficientes indeterminados:
O que devemos encontrar é a solução geral
, isto é, a soma de uma solução da homogênea associada e de uma solução particular que satisfaça a equação com o termo do lado direito
.
Passo 2
Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica. Se propomos
, obtemos
As raízes são
. Isso implica que as soluções independentes reais são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos procurar uma solução particular
da equação completa. O termo do lado direito é um polinômio de grau
,
. Pelo método dos coeficientes indeterminados, devemos tentar uma solução particular que seja um polinômio de mesmo grau:
com
constantes a determinar.
Antes de usar essa forma, verificamos se há ressonância: se alguma parte do termo proposto for solução da homogênea. A homogênea tem soluções trigonométricas
e
, que não são polinômios, então não há ressonância. Portanto a forma escolhida é adequada (não precisamos multiplicar por
).
Passo 4
Calculemos as derivadas de
:
Substituímos na equação
:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Passo 5
Agora igualamos coeficientes de potências de
nos dois lados para obter um sistema para
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolvendo:
e substituindo
na última equação:
Passo 6
Portanto a solução particular encontrada é
Verificação rápida: calcular
:
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que coincide com o lado direito. Está correta.
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular: