Utilize uma substituição do tipo
, para reduzir a ordem da e.d.o. e então resolvê-la.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente que se use a substituição
para reduzir a ordem da equação diferencial e então resolvê-la. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve
e . - A substituição obrigatória é
. - Espera-se obter a solução geral
(com constantes de integração).
Observação importante (extraída da forma da equação): a equação será definida parapor causa dos termos com divisão por que aparecerão; isso implica que a solução será válida em intervalos onde não muda de sinal.
Passo 2
Aplicar a substituição pedida. Defina
Como
, a segunda derivada é a derivada de
:
Substituindo isso na equação original obtemos uma equação de primeira ordem em
:
Passo 3
Reescrever a equação em forma padrão de equação linear de primeira ordem. Isolando
:
Dividindo por
(lembrando que
no domínio considerado) obtemos
Esta é uma equação linear em
da forma
onde
e
.
Passo 4
Lembrando o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem: se
então o fator integrante é
Ao multiplicar a equação por
obtém-se o lado esquerdo como derivada do produto
:
Passo 5
Calcular o fator integrante para
:
Para trabalhar de forma simples, escolhemos
em um intervalo onde
e
em um intervalo onde
; usar
funciona formalmente se considerarmos o sinal da constante de integração depois. Multiplicando a equação por
obtemos
que reconhecemos como
Aqui foi usada a identidade
.
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é uma constante arbitrária de integração.
Passo 7
Isolar
(lembre:
):
Expliquei: a divisão por
foi possível porque estamos trabalhando em intervalos com
.
Passo 8
Agora integrar
para recuperar
. Integramos termo a termo:
Calcule as primitivas:
Acrescenta-se outra constante de integração, digamos
. Portanto
Passo 9
Interpretação final e observações didáticas:
- A solução geral contém duas constantes arbitrárias
e , como esperado para uma equação diferencial de segunda ordem. - O termo
aparece por causa da integral de ; por isso a solução só é válida para intervalos onde não muda de sinal ( ou ). - Se for necessário apresentar a solução com constantes
em vez de , pode-se renomeá-las; a forma essencial é
- Dica prática para prova: ao fazer a substituição
, verifique se a equação resultante é linear em . Se for, o fator integrante é a ferramenta direta; procure identificar rapidamente e lembrar que .