Utilize uma substituição do tipo y^{\prime}=u(x), para reduzir a ordem da e.d.o. e então resolvê-la.
x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+x=0

Passo 1

O enunciado pede explicitamente que se use a substituição \,y' = u(x)\, para reduzir a ordem da equação diferencial e então resolvê-la. A equação dada é
x\,y'' + y' + x = 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve y'' e y'.
  • A substituição obrigatória é \,y' = u(x)\,.
  • Espera-se obter a solução geral y(x) (com constantes de integração).
    Observação importante (extraída da forma da equação): a equação será definida para x\neq 0 por causa dos termos com divisão por x que aparecerão; isso implica que a solução será válida em intervalos onde x não muda de sinal.

Passo 2

Aplicar a substituição pedida. Defina
y' = u(x).
Como y' = u, a segunda derivada é a derivada de u:
y'' = u'(x).
Substituindo isso na equação original obtemos uma equação de primeira ordem em u:
x\,u' + u + x = 0.

Passo 3

Reescrever a equação em forma padrão de equação linear de primeira ordem. Isolando u':
x\,u' + u = -x.
Dividindo por x (lembrando que x\neq 0 no domínio considerado) obtemos
u' + \frac{1}{x}\,u = -1.
Esta é uma equação linear em u da forma
u' + P(x)\,u = Q(x),
onde \,P(x)=\dfrac{1}{x}\, e \,Q(x)=-1\,.

Passo 4

Lembrando o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem: se
u' + P(x)\,u = Q(x),
então o fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Ao multiplicar a equação por \mu(x) obtém-se o lado esquerdo como derivada do produto \mu(x)u(x):
\frac{d}{dx}\big(\mu(x) u(x)\big) = \mu(x) Q(x).

Passo 5

Calcular o fator integrante para P(x)=\dfrac{1}{x}:
\mu(x) = \exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right) = \exp(\ln|x|) = |x|.
Para trabalhar de forma simples, escolhemos \mu(x)=x em um intervalo onde x>0 e \mu(x)=-x em um intervalo onde x<0; usar \mu(x)=x funciona formalmente se considerarmos o sinal da constante de integração depois. Multiplicando a equação por x obtemos
x\,u' + u = -x,
que reconhecemos como
\frac{d}{dx}\big(x\,u\big) = -x.
Aqui foi usada a identidade \frac{d}{dx}(x u)=x u'+u.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x\,u\big)\,dx = \int -x\,dx.
Isso dá
x\,u = -\frac{x^{2}}{2} + C_1,
onde \,C_1\, é uma constante arbitrária de integração.

Passo 7

Isolar u (lembre: u=y'):
u(x) = y'(x) = -\frac{x}{2} + \frac{C_1}{x}.
Expliquei: a divisão por x foi possível porque estamos trabalhando em intervalos com x\neq 0.

Passo 8

Agora integrar u(x) para recuperar y(x). Integramos termo a termo:
y(x) = \int y'(x)\,dx = \int\!\left(-\frac{x}{2} + \frac{C_1}{x}\right)dx.
Calcule as primitivas:
\int -\frac{x}{2}\,dx = -\frac{x^{2}}{4}, \qquad \int \frac{C_1}{x}\,dx = C_1 \ln|x|.
Acrescenta-se outra constante de integração, digamos C_2. Portanto
y(x) = -\frac{x^{2}}{4} + C_1 \ln|x| + C_2.

Passo 9

Interpretação final e observações didáticas:
  • A solução geral contém duas constantes arbitrárias C_1 e C_2, como esperado para uma equação diferencial de segunda ordem.
  • O termo \ln|x| aparece por causa da integral de 1/x; por isso a solução só é válida para intervalos onde x não muda de sinal ( x>0 ou x<0).
  • Se for necessário apresentar a solução com constantes A,B em vez de C_1,C_2, pode-se renomeá-las; a forma essencial é
y(x) = -\frac{x^{2}}{4} + C_1 \ln|x| + C_2.
  • Dica prática para prova: ao fazer a substituição y'=u, verifique se a equação resultante é linear em u. Se for, o fator integrante é a ferramenta direta; procure identificar P(x) rapidamente e lembrar que \mu=\exp(\int P).

Resposta

y(x) = -\frac{x^{2}}{4} + C_{1}\ln|x| + C_{2}

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