Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com as condições
O que se pede: encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada (a parte sem o termo
). A equação homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Resolvendo:
Quando as raízes são complexas
, a solução geral da homogênea é
Aqui
e
, logo
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicação rápida: a combinação de cosseno e seno aparece porque
e
se combinam em funções reais
e
.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
O termo à direita é uma constante (
), então tentamos uma solução particular constante:
onde
é uma constante a determinar. Derivadas de
:
. Substituindo na equação:
Logo
Comentário didático: escolhemos uma constante porque a RHS é constante; se a RHS fosse um polinômio, exponencial ou seno/cosseno, escolheríamos um candidato do mesmo tipo. Se o candidato fosse solução da homogênea, multiplicaríamos por
até eliminar a degeneração (caso de ressonância).
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
com
desconhecidos ainda. Nesta expressão,
e
serão determinados pelas condições iniciais.
Passo 5
Calculamos a derivada
para aplicar a condição inicial envolvendo
. Usamos a regra da cadeia:
e
. Assim
(O termo
some porque é constante.)
Passo 6
Aplicamos a condição
. Primeiro calculamos os valores trigonométricos em
:
Substituindo em
:
A condição diz que isso vale
, então
Passo 7
Aplicamos a condição
. Usando os mesmos valores trigonométricos e a expressão de
:
A condição impõe
Passo 8
Encontramos as constantes:
Como checagem rápida (sem escrever a solução final ainda): substituindo esses valores na equação
(usando as expressões formais para as derivadas) cancela-se as partes com
e
e sobra o termo constante
, ou seja, a função encontrada satisfaz a equação diferencial. Isso confirma que os
e
estão corretos.