Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+4 y=-2, \quad y\left(\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad e \quad y^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y''+4y=-2,
com as condições
y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad y'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\tfrac{1}{2}.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada (a parte sem o termo -2). A equação homogênea é
y''+4y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}+4=0.
Resolvendo:
r=\pm 2\mathrm{i}.
Quando as raízes são complexas r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta, a solução geral da homogênea é
y_{h}=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).
Aqui \alpha=0 e \beta=2, logo
y_{h}=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicação rápida: a combinação de cosseno e seno aparece porque e^{\mathrm{i}\beta x} e e^{-\mathrm{i}\beta x} se combinam em funções reais \cos(\beta x) e \sin(\beta x).

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p} da equação completa
y''+4y=-2.
O termo à direita é uma constante ( -2), então tentamos uma solução particular constante:
y_{p}=A,
onde A é uma constante a determinar. Derivadas de y_{p}: y_{p}''=0. Substituindo na equação:
0+4A=-2.
Logo
A=-\tfrac{1}{2}.
Comentário didático: escolhemos uma constante porque a RHS é constante; se a RHS fosse um polinômio, exponencial ou seno/cosseno, escolheríamos um candidato do mesmo tipo. Se o candidato fosse solução da homogênea, multiplicaríamos por x até eliminar a degeneração (caso de ressonância).

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)-\tfrac{1}{2},
com C_{1},C_{2} desconhecidos ainda. Nesta expressão, C_{1} e C_{2} serão determinados pelas condições iniciais.

Passo 5

Calculamos a derivada y'(x) para aplicar a condição inicial envolvendo y'. Usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x) e \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x). Assim
y'(x)=-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x).
(O termo -\tfrac{1}{2} some porque é constante.)

Passo 6

Aplicamos a condição y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=0. Primeiro calculamos os valores trigonométricos em x=\frac{\pi}{4}:
2x=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}, \qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0, \qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
Substituindo em y(x):
y\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 1 -\tfrac{1}{2}=C_{2}-\tfrac{1}{2}.
A condição diz que isso vale 0, então
C_{2}-\tfrac{1}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Aplicamos a condição y'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\tfrac{1}{2}. Usando os mesmos valores trigonométricos e a expressão de y':
y'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-2C_{1}\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+2C_{2}\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-2C_{1}\cdot 1 + 2C_{2}\cdot 0 = -2C_{1}.
A condição impõe
-2C_{1}=-\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\tfrac{1}{4}.

Passo 8

Encontramos as constantes:
C_{1}=\tfrac{1}{4},\qquad C_{2}=\tfrac{1}{2}.
Como checagem rápida (sem escrever a solução final ainda): substituindo esses valores na equação y''+4y (usando as expressões formais para as derivadas) cancela-se as partes com \cos(2x) e \sin(2x) e sobra o termo constante -2, ou seja, a função encontrada satisfaz a equação diferencial. Isso confirma que os C_{1} e C_{2} estão corretos.

Resposta

y(x)=\tfrac{1}{4}\cos(2x)+\tfrac{1}{2}\sin(2x)-\tfrac{1}{2}

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