Resolva apenas um dos seguintes PVIs:
l2 d yd x-1y=2 xy y(pi)=raizpi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver o PVI (problema de valor inicial):
2,dydx - 1y = 2xy, y(pi)=raizpi
Isso é uma equação diferencial de 1ª ordem. A ideia é usar separação de variáveis: a gente vai reescrever a equação de modo a juntar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro, integrar e depois aplicar a condição inicial pra achar a constante.

Passo 2

Primeiro, isola a derivada dydx.
2,\frac{dy}{dx} - \frac{1}{y} = \frac{2x}{y}
Rightarrow 2,\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2x+1}{y}
Rightarrow multiplica tudo por y:
2y,dydx = 2x + 1

Passo 3

Agora é separar variáveis: coloca y junto de dy e x junto de dx.
2y,dydx = 2x+1 ;Longrightarrow; y,dy = l(x + tfrac12r),dx
Integra os dois lados:
integral y,dy = integrall(x + tfrac12r),dx ;Longrightarrow; y^22 = x^22 + x2 + C
Multiplicando tudo por 2, fica
y^2 = x^2 + x + C',onde C'=2C

Passo 4

Usa a condição y(pi)=raizpi:
(raizpi)^2 = pi = pi^2 + pi + C' ;Longrightarrow; C' = pi - pi^2 - pi = -pi^2
Então a solução geral vira
y^2 = x^2 + x - pi^2

Passo 5

Como a gente quer passar por y(pi)=+raizpi, escolhe o sinal positivo da raiz. Logo
y(x) = raizx^2 + x - pi^2

Resposta

boxedy(x) = raizx^2 + x - pi^2

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