Resolva apenas um dos seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver o PVI (problema de valor inicial):
Isso é uma equação diferencial de 1ª ordem. A ideia é usar separação de variáveis: a gente vai reescrever a equação de modo a juntar tudo que tem
de um lado e tudo que tem
do outro, integrar e depois aplicar a condição inicial pra achar a constante.
Passo 2
Primeiro, isola a derivada
.
2,\frac{dy}{dx} - \frac{1}{y} = \frac{2x}{y}
2,\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2x+1}{y}
multiplica tudo por
:
2,\frac{dy}{dx} - \frac{1}{y} = \frac{2x}{y}
Passo 3
Agora é separar variáveis: coloca
junto de
e
junto de
.
Integra os dois lados:
Multiplicando tudo por 2, fica
Passo 4
Usa a condição
:
Então a solução geral vira
Passo 5
Como a gente quer passar por
, escolhe o sinal positivo da raiz. Logo