Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}+9 y=x \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 9\,y = x\sin x
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve primeiro encontrar a solução geral da homogênea associada e depois propor um palpite (ansatz) para uma solução particular que anule o termo forçante x\sin x.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 9y = 0.
A equação característica é r^2 + 9 = 0, cujas raízes são r = \pm 3i. Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular y_p, observamos que o termo não homogêneo é x\sin x, que é um polinômio de grau 1 multiplicado por \sin x. Como \pm i não coincidem com as raízes \pm 3i da homogênea, propomos
y_p(x) = (A x + B)\cos x + (C x + D)\sin x,
com constantes A,B,C,D a determinar.

Passo 4

Calculamos y_p' e y_p''. Seja
U(x)=A x+B,\quad V(x)=C x+D,
então
y_p = U\cos x + V\sin x,
y_p' = U'\cos x - U\sin x + V'\sin x + V\cos x = \bigl(Cx+(A+D)\bigr)\cos x + \bigl(-Ax+(C - B)\bigr)\sin x,
y_p'' = \frac{d}{dx}\bigl(y_p'\bigr) = (C+V)\cos x -\bigl(U+A\bigr)\sin x = \bigl(-A x +2C -B\bigr)\cos x + \bigl(-C x -2A -D\bigr)\sin x.

Passo 5

Substituímos em y''+9y:
y_p'' + 9y_p = \bigl(-A x +2C -B\bigr)\cos x + \bigl(-C x -2A -D\bigr)\sin x +9\bigl(A x + B\bigr)\cos x +9\bigl(C x + D\bigr)\sin x.
Agrupando em \cos x e \sin x:
y_p''+9y_p = \bigl(8A\,x +2C+8B\bigr)\cos x + \bigl(8C\,x -2A+8D\bigr)\sin x.
Queremos isso igual a x\sin x, ou seja
0\cdot\cos x +1\cdot x\sin x.
Assim, igualando coeficientes de x e constantes em cada função, obtemos o sistema
\begin{cases} 8A = 0,\\\\ 2C + 8B = 0,\\\\ 8C = 1,\\\\ -2A + 8D = 0. \end{cases}

Passo 6

Resolvendo:
8A=0\implies A=0,
8C=1\implies C=\tfrac{1}{8},
2C+8B=0\implies B=-\tfrac{C}{4}=-\tfrac{1}{32},
-2A+8D=0\implies D=0.
Logo a solução particular é
y_p(x) = -\frac{1}{32}\cos x + \frac{1}{8}\,x\sin x.

Resposta

A solução geral da equação é
\boxed{y(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) -\frac{1}{32}\cos x + \frac{1}{8}\,x\sin x.}

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