Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve primeiro encontrar a solução geral da homogênea associada e depois propor um palpite (ansatz) para uma solução particular que anule o termo forçante
.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a solução particular
, observamos que o termo não homogêneo é
, que é um polinômio de grau 1 multiplicado por
. Como
não coincidem com as raízes
da homogênea, propomos
com constantes
a determinar.
Passo 4
Calculamos
e
. Seja
então
Passo 5
Substituímos em
:
Agrupando em
e
:
Queremos isso igual a
, ou seja
Assim, igualando coeficientes de
e constantes em cada função, obtemos o sistema
Passo 6
Resolvendo:
Logo a solução particular é
Resposta
A solução geral da equação é