Explicação rápida: cada linha representa uma equação; as colunas são as coeficientes de x, y, z e a última coluna é o lado direito (termos constantes).]
Passo 3
Podemos facilitar escolhendo um pivô simples. Multiplico a primeira linha por -1 (operação de linha válida) para ter pivô 1 na posição (1,1):
Voltando ao sistema equivalente às linhas escalonadas:
\begin{cases} x - 3y + z = -1\\[4pt] 5y - z = 3 \end{cases}
Observação importante: temos duas equações para três incógnitas, então é esperado termos infinitas soluções parametrizadas. Normalmente tomamos uma variável como parâmetro (variável livre). Aqui escolho \,z como parâmetro livre e escrevo \;z=t\; com t\in\mathbb{R}.]
Passo 6
Resolvendo a segunda equação em função de t:
5y - z = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5y - t = 3
\text{Logo } y = \frac{3+t}{5} = \frac{3}{5} + \frac{t}{5}.
Explicação didática: isolamos y somando t e dividindo por 5. Sempre que uma equação é linear do tipo ay+b=0, isolamos y como y=(-b)/a.
Passo 7
Agora substituímos y e z na primeira equação para achar x. A primeira equação é
x - 3y + z = -1.
Substituindo y=\dfrac{3+t}{5} e z=t:
x - 3\left(\frac{3+t}{5}\right) + t = -1.
Faço as contas passo a passo:
-3\left(\frac{3+t}{5}\right) = \frac{-9 -3t}{5}.
Então
x + \frac{-9 -3t}{5} + t = -1.
Escrevo t como \dfrac{5t}{5} e -1 como \dfrac{-5}{5} para juntar frações:
Juntando tudo, parametricamente em função de t\in\mathbb{R}\):
\[\begin{cases} x = \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5}t,\\[6pt] y = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}t,\\[6pt] z = t. \end{cases}
Interpretação: a solução é uma reta (uma família unidimensional) em \mathbb{R}^3\]. Podemos também escrever em forma vetorial:
\[(x,y,z)=\left(\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5},0\right) + t\left(-\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{5},1\right),\quad t\in\mathbb{R}.\]
Exemplo numérico rápido: para \(t=0 obtemos \left(\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5},0\right) que de fato satisfaz as duas equações; para t=5 obtemos \left(-\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5},5\right).]