Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}-x+3 y-z=1 \\\\ 2 x-y+z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por escalonamento, o sistema de duas equações com três incógnitas:
\begin{cases} -x+3y-z=1\\[4pt] 2x-y+z=1 \end{cases}
Informações dadas:
\text{Equações: }\\\ -x+3y-z=1\quad\text{e}\quad 2x-y+z=1.çõ
O objetivo é encontrar todos os tripletos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas duas equações.]

Passo 2

Vou escrever o sistema na forma de matriz aumentada para aplicar o escalonamento. A matriz aumentada é:
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 3 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]
Explicação rápida: cada linha representa uma equação; as colunas são as coeficientes de x, y, z e a última coluna é o lado direito (termos constantes).]

Passo 3

Podemos facilitar escolhendo um pivô simples. Multiplico a primeira linha por -1 (operação de linha válida) para ter pivô 1 na posição (1,1):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]
Comentário didático: multiplicar uma linha por uma constante não nula não altera o conjunto de soluções; faz só a conta ficar mais limpa.]

Passo 4

Agora elimino a variável x da segunda linha usando a primeira. Faço L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1:
Calculemos os novos coeficientes da segunda linha:
  • Para x: 2 - 2\cdot 1 = 0.
  • Para y: -1 - 2\cdot(-3) = -1 +6 = 5.
  • Para z: 1 - 2\cdot 1 = 1 -2 = -1.
  • Para o termo constante: 1 - 2\cdot(-1) = 1 +2 = 3.
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 5 & -1 & 3 \end{array}\right]]

Passo 5

Voltando ao sistema equivalente às linhas escalonadas:
\begin{cases} x - 3y + z = -1\\[4pt] 5y - z = 3 \end{cases}
Observação importante: temos duas equações para três incógnitas, então é esperado termos infinitas soluções parametrizadas. Normalmente tomamos uma variável como parâmetro (variável livre). Aqui escolho \,z como parâmetro livre e escrevo \;z=t\; com t\in\mathbb{R}.]

Passo 6

Resolvendo a segunda equação em função de t:
5y - z = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5y - t = 3
\text{Logo } y = \frac{3+t}{5} = \frac{3}{5} + \frac{t}{5}.
Explicação didática: isolamos y somando t e dividindo por 5. Sempre que uma equação é linear do tipo ay+b=0, isolamos y como y=(-b)/a.

Passo 7

Agora substituímos y e z na primeira equação para achar x. A primeira equação é
x - 3y + z = -1.
Substituindo y=\dfrac{3+t}{5} e z=t:
x - 3\left(\frac{3+t}{5}\right) + t = -1.
Faço as contas passo a passo:
-3\left(\frac{3+t}{5}\right) = \frac{-9 -3t}{5}.
Então
x + \frac{-9 -3t}{5} + t = -1.
Escrevo t como \dfrac{5t}{5} e -1 como \dfrac{-5}{5} para juntar frações:
x + \frac{-9 -3t +5t}{5} = -1
x + \frac{-9 +2t}{5} = -1 = \frac{-5}{5}
Agora isolo x:
x = \frac{-5}{5} - \frac{-9 +2t}{5} = \frac{-5 +9 -2t}{5} = \frac{4 -2t}{5}.
Simplificando:
x = \frac{4}{5} - \frac{2}{5}t.

Passo 8

Juntando tudo, parametricamente em função de t\in\mathbb{R}\): \[\begin{cases} x = \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5}t,\\[6pt] y = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}t,\\[6pt] z = t. \end{cases}
Interpretação: a solução é uma reta (uma família unidimensional) em \mathbb{R}^3\]. Podemos também escrever em forma vetorial: \[(x,y,z)=\left(\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5},0\right) + t\left(-\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{5},1\right),\quad t\in\mathbb{R}.\] Exemplo numérico rápido: para \(t=0 obtemos \left(\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5},0\right) que de fato satisfaz as duas equações; para t=5 obtemos \left(-\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5},5\right).]

Resposta

\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{5}t,\\ \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}t,\\ t\right),\quad t\in\mathbb{R}.

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