Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}x+y=6 \\\ x-y=2 \\\\ 5 x+y=22 \\\ x+2 y=8\end{array}\right.

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} x+y=6\\[4pt] x-y=2\\[4pt] 5x+y=22\\[4pt] x+2y=8 \end{cases}
O que se pede é resolver esse sistema (encontrar x e y) utilizando escalonamento (eliminação por operações elementares nas linhas). Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Equação 1: } x+y=6,\\\ &\text{Equação 2: } x-y=2,\\\ &\text{Equação 3: } 5x+y=22,\\\ &\text{Equação 4: } x+2y=8. \end{aligned}çãçãçãçã
Não há outras condições explícitas; vamos usar todas as equações simultaneamente para verificar consistência.]

Passo 2

Breve aula prática sobre escalonamento (sem pular etapas):
  • Representamos o sistema por uma matriz aumentada que contém os coeficientes das incógnitas e a coluna dos termos independentes.
  • Operações permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
    1. trocar duas linhas,
    2. multiplicar uma linha por um escalar não-nulo,
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada numa forma escalonada (pivôs à esquerda, zeros abaixo dos pivôs) para facilitar a resolução por substituição reversa.
    Agora escrevemos a matriz aumentada do sistema (coluna da direita é o vetor dos termos independentes):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 6\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 5 & 1 & 22\\[4pt] 1 & 2 & 8 \end{array}\right]]

Passo 3

Escolhemos a primeira linha como pivô inicial (elemento 1 na posição da coluna x). Vamos zerar as entradas abaixo desse pivô na coluna x usando operações do tipo R_i \leftarrow R_i - kR_1.
  • Para zerar a linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
  • Para zerar a linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1.
  • Para zerar a linha 4: R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Façamos as contas linha a linha (mostrando cada componente):
  • R_2 - R_1: (1-1,\,-1-1,\;2-6) = (0,\,-2,\,-4).
  • R_3 - 5R_1: (5-5,\;1-5,\;22-30) = (0,\,-4,\,-8).
  • R_4 - R_1: (1-1,\;2-1,\;8-6) = (0,\;1,\;2).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -2 & -4\\[4pt] 0 & -4 & -8\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora precisamos de um pivô na segunda coluna (coluna de y). Observando as linhas 2,3,4, uma escolha prática é trocar a linha 2 com a linha 4 porque R_4 já tem 1 nessa coluna (pivô simples, evita frações). Aplicamos R_2 \leftrightarrow R_4.
A matriz fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -4 & -8\\[4pt] 0 & -2 & -4 \end{array}\right]
Explicação rápida do porquê trocar: com pivô igual a 1 a eliminação abaixo fica mais simples (sem multiplicação por frações).]

Passo 5

Com pivô 1 em posição (2,2) vamos zerar as entradas abaixo dessa posição na coluna y:
  • Para zerar R_3 (atualmente -4 na coluna y): faça R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2.
  • Para zerar R_4 (atualmente -2 na coluna y): faça R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2.
Calculemos:
  • R_3 + 4R_2: (0+4\cdot0,\; -4+4\cdot1,\; -8+4\cdot2) = (0,\;0,\;0).
  • R_4 + 2R_2: (0+2\cdot0,\; -2+2\cdot1,\; -4+2\cdot2) = (0,\;0,\;0).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Agora estamos na forma escalonada: só restam duas linhas efetivas (duas equações independentes) para as duas incógnitas.]

Passo 6

Interpretação do escalonamento e resolução por substituição:
  • A segunda linha corresponde à equação 0\cdot x + 1\cdot y = 2, ou seja y=2.
  • Substituindo y=2 na primeira linha x+y=6 obtemos x+2=6, portanto x=6-2=4.
Verificação rápida nas equações originais (só para garantir consistência):
  • Equação 1: x+y=4+2=6 OK.
  • Equação 2: x-y=4-2=2 OK.
  • Equação 3: 5x+y=5\cdot4+2=20+2=22 OK.
  • Equação 4: x+2y=4+2\cdot2=4+4=8 OK.
Como todas as equações são satisfeitas, o sistema é consistente e a solução é única.

Resposta

x=4
y=2

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