Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas: \left\{\begin{array}{l}2 x-y+3 z=-1 \\\ x+y-z=2 \\\\ 3 x+2 z=1 \\\\ 5 x+2 y=5\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por escalonamento, o sistema de quatro equações nas três incógnitas x,y,z\):
\[\begin{cases} 2x-y+3z=-1\\[4pt] x+y-z=2\\[4pt] 3x+2z=1\\[4pt] 5x+2y=5 \end{cases}
Objetivo: encontrar todos os tripletos ((x,y,z)] que satisfazem simultaneamente essas quatro equações, usando o método de escalonamento (eliminar variáveis por operações elementares nas linhas).]
Passo 2
Transformamos o sistema na matriz aumentada (cada linha = uma equação; colunas = coeficientes de x,y,z e coluna vertical separadora = termos independentes):
Explicação curta sobre a ideia: escalonamento usa operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma matriz triangular (ou forma escalonada), que facilita resolver o sistema por substituição regressiva.]
Passo 3
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2 (porque a linha 2 tem coeficiente 1 em x, um bom pivô):
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
Nova matriz:
As demais linhas são 0=0 (sem informação nova). Temos 3 incógnitas e apenas 2 equações independentes → existe um grau de liberdade: uma variável será livre. Escolhemos z como parâmetro livre. Definimos z=t, com t\in\mathbb{R}.
Explicação sobre variável livre: quando o número de incógnitas é maior que o posto da matriz dos coeficientes, algumas incógnitas não ficam determinadas pela eliminação e podem assumir qualquer valor — usamos um parâmetro para descrever todas as soluções.]