Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto F é um subespaço vetorial do espaço vetorial E. Em todos os casos, considere as operçãoes usuais em E.
E=Mn(R), F=A in Mn(R) mid A^t=-A

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto F , que é formado por todas as matrizes A em Mn(R) tais que A^t = -A (ou seja, matrizes anti-simétricas), é um subespaço vetorial do espaço E das matrizes n times n com números reais. Para isso, vamos usar os conceitos de espaço vetorial e subespaço, verificando se F satisfaz certas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço F de E precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em F .
  2. Fechado sob adição: Se A e B estão em F , então A + B também deve estar em F .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se A está em F e c é um número real, então cA também deve estar em F .
Vamos verificar cada uma dessas condições para F .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A matriz zero, 0 , tem todas as entradas iguais a zero. Vamos verificar se ela pertence a F .
Calculando a transposta da matriz zero:
0^t = 0
E verificando se 0^t = -0 :
0 = -0 (O que é verdade) é
Então, a matriz zero está em F .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes A e B que pertencem a F , ou seja, A^t = -A e B^t = -B . Precisamos mostrar que (A + B)^t = -(A + B) .
Calculando a transposta de A + B :
(A + B)^t = A^t + B^t = (-A) + (-B) = - (A + B)
Portanto, A + B também satisfaz a condição para estar em F .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma matriz A em F e um escalar c real. Precisamos mostrar que (cA)^t = -(cA) .
Calculando a transposta de cA :
(cA)^t = cA^t = c(-A) = -cA
Assim, cA também está em F .

Resposta

Como F contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que F é, de fato, um subespaço vetorial de E = Mn(R) .

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