Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
. Em todos os casos, considere as operçãoes usuais em
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto
, que é formado por todas as matrizes
em
tais que
(ou seja, matrizes anti-simétricas), é um subespaço vetorial do espaço
das matrizes
com números reais. Para isso, vamos usar os conceitos de espaço vetorial e subespaço, verificando se
satisfaz certas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero,
, tem todas as entradas iguais a zero. Vamos verificar se ela pertence a
.
Calculando a transposta da matriz zero:
E verificando se
:
Então, a matriz zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes
e
que pertencem a
, ou seja,
e
. Precisamos mostrar que
.
Calculando a transposta de
:
Portanto,
também satisfaz a condição para estar em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma matriz
em
e um escalar
real. Precisamos mostrar que
.
Calculando a transposta de
:
Assim,
também está em
.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.