Verifique se os problemas abaixo têm solução e, nesse caso, ache todas as soluçōes:
Passo 1
O enunciado dá a equação
com a condição de contorno
Trata-se de um PDE de primeira ordem em que apenas aparece
; podemos então tratá-lo como uma ODE em
para cada
. Para existência e unicidade basta que o lado direito
seja contínuo (o que é) e que a curva inicial
seja transversal às linhas de integração (cada reta
constante), o que também ocorre. Logo há solução única global.
Passo 2
Integramos a equação
em relação a
, considerando
fixo. Obtemos
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 3
Usamos a condição
. Substituindo
em
, vem
Dessa igualdade, isolamos
:
Passo 4
Substituímos
em
. Obtemos a solução única do problema de contorno: