Verifique se os problemas abaixo têm solução e, nesse caso, ache todas as soluçōes:
\begin{aligned}& u_{x}=2 x y,(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \\& u\left(e^{y}, y\right)=y^{2}+1, y \in \mathbb{R} .\end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a equação
u_{x}(x,y)=2\,x\,y,\quad (x,y)\in\mathbb{R}^{2},
com a condição de contorno
u\bigl(e^{y},y\bigr)=y^{2}+1,\quad y\in\mathbb{R}.
Trata-se de um PDE de primeira ordem em que apenas aparece \partial u/\partial x; podemos então tratá-lo como uma ODE em x para cada y. Para existência e unicidade basta que o lado direito 2xy seja contínuo (o que é) e que a curva inicial x=e^{y} seja transversal às linhas de integração (cada reta y= constante), o que também ocorre. Logo há solução única global.

Passo 2

Integramos a equação
u_{x}(x,y)=2\,x\,y
em relação a x, considerando y fixo. Obtemos
u(x,y)=\int 2\,x\,y\,dx = x^{2}y + \varphi(y),
onde \varphi(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Usamos a condição u\bigl(e^{y},y\bigr)=y^{2}+1. Substituindo x=e^{y} em u(x,y), vem
u\bigl(e^{y},y\bigr) = e^{2y}\,y + \varphi(y) \stackrel{!}{=}y^{2}+1.
Dessa igualdade, isolamos \varphi(y):
\varphi(y)=y^{2}+1 - y\,e^{2y}.

Passo 4

Substituímos \varphi(y) em u(x,y)=x^{2}y+\varphi(y). Obtemos a solução única do problema de contorno:
u(x,y)=x^{2}y + \bigl(y^{2}+1 - y\,e^{2y}\bigr).

Resposta

u(x,y)=x^{2}y + y^{2} + 1 - y\,e^{2y}.

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