Resolva cada uma das cinco equações diferenciais dadas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe! Temos cinco equações diferenciais diferentes para resolver. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias, que são usadas para modelar situações onde uma quantidade depende de outra, como velocidade que depende da posição. Para resolver essas equações, vamos precisar usar técnicas como separação de variáveis, equações exatas, ou substituições apropriadas. Vamos resolver uma por uma, passo a passo, de forma bem tranquila.
Primeira Equação: $ y’ = \frac{x^2}{y} $
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação: $ y’ = \frac{x^2}{y} $. Isso significa que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ \frac{x^2}{y} $. Queremos encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa condição.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por $ y $ e $ dx $ para separar as variáveis $ y $ e $ x $.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Aí a gente integra cada lado:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Por fim, vamos resolver para $ y $:
Podemos simplificar a constante $ 2C $ para apenas $ C $ (como é uma constante arbitrária):
Passo 6
Vamos analisar a equação: $ y’ + y^2 \sin x = 0 $. Aqui, a derivada de $ y $ mais $ y^2 $ vezes $ \sin x $ é zero. Queremos encontrar $ y(x) $ que satisfaz essa condição.
Passo 7
Vamos rearranjar a equação para isolarmos $ y’ $:
Agora, temos uma equação separável, onde podemos colocar todas as $ y $ de um lado e $ x $ do outro.
Passo 8
Vamos separar as variáveis:
Aqui, dividimos ambos os lados por $ y^2 $ e multiplicamos por $ dx $ para separar as variáveis.
Passo 9
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Passo 10
Resolvendo para $ y $:
Podemos simplificar a constante $ C $ sem o sinal negativo:
Passo 11
Vamos ver essa equação: $ \frac{dy}{dx} = \frac{x - e^{-x}}{y + e^{-y}} $. É uma equação que relaciona $ y $ e $ x $ de forma um pouco mais complicada. Vamos tentar encontrar uma maneira de separá-las.
Passo 12
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por $ y + e^{-y} $ para separar os termos:
Agora, conseguimos separar $ y $ e $ x $ de cada lado.
Passo 13
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Passo 14
Finalmente, podemos escrever a solução implícita:
Passo 15
Vamos analisar a equação: $ y’ = \frac{x^2}{y (1 + x^3)} $. Queremos encontrar $ y(x) $ que satisfaça essa condição. Vamos ver se conseguimos separar as variáveis.
Passo 16
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por $ y $ para separar:
Agora, as variáveis estão separadas: tudo com $ y $ de um lado e tudo com $ x $ do outro.
Passo 17
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é fácil:
Para o lado direito, vamos fazer uma substituição. Seja $ u = 1 + x^3 $, então $ du = 3x^2 dx $, ou seja, $ \frac{du}{3} = x^2 dx $.
Então, a integral fica:
Passo 18
Juntando tudo:
Passo 19
Resolvendo para $ y $:
Podemos simplificar a constante $ 2C $ para apenas $ C $:
Passo 20
Vamos ver essa última equação: $ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{1 + y^2} $. Precisamos encontrar $ y(x) $ que satisfaça essa relação. Vamos tentar separar as variáveis para facilitar a resolução.
Passo 21
Vamos rearranjar a equação para separar $ y $ e $ x $:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por $ 1 + y^2 $ e $ dx $ para separar as variáveis.
Passo 22
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Passo 23
Vamos organizar a expressão:
Podemos multiplicar tudo por 3 para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por: