Resolva cada uma das EDOs de 2^{\mathrm{a}} ordem a seguir.
\left\{\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}+2 y & =0 \\\ y(0) & =1 \\\ \frac{d y}{d x}(0) & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte EDO de 2ª ordem com condições iniciais (aqui peguei todas as informações do enunciado):
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}+2 y =0
Condições iniciais:
y(0)=1,\qquad \frac{d y}{d x}(0)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a EDO e essas condições iniciais.

Passo 2

Método padrão para EDO linear homogênea com coeficientes constantes: tentar uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é uma constante (a ideia é que exponenciais se transformam em múltiplos delas mesmas ao derivar). Calculando derivadas:
\frac{d y}{d x}=r e^{r x},\qquad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na EDO obtemos
r^{2}e^{r x}+3 r e^{r x}+2 e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e ficar com a equação característica:
r^{2}+3 r+2=0.
Aqui r representa os expoentes da solução tentativa; as raízes dessa equação característica determinam a forma geral da solução.

Passo 3

Resolver a equação quadrática característica:
r^{2}+3 r+2=0.
Fatora-se:
(r+1)(r+2)=0,
logo as raízes são
r=-1,\qquad r=-2.

Passo 4

Como as raízes r=-1 e r=-2 são reais e distintas, a solução geral da EDO homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (explicação rápida: por linearidade da equação, qualquer combinação linear de soluções é também solução).

Passo 5

Vamos calcular a derivada y'(x) para aplicar a condição inicial sobre y'. Diferenciando termo a termo:
\frac{d y}{d x}=y'(x)=-C_{1}e^{-x}-2C_{2}e^{-2x}.
Aqui usei que \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x} e \dfrac{d}{dx}e^{-2x}=-2e^{-2x}.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Usando y(0)=1:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}=1.
Usando y'(0)=0:
y'(0)=-C_{1}e^{0}-2C_{2}e^{0}=-C_{1}-2C_{2}=0.
Portanto obtemos o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] - C_{1}-2C_{2}=0. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para C_{1} e C_{2}.
Da primeira equação:
C_{1}=1-C_{2}.
Substituindo na segunda:
-(1-C_{2})-2C_{2}=0.
Desenvolvendo:
-1+C_{2}-2C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad -1 - C_{2}=0.
Logo
C_{2}=-1.
E então
C_{1}=1- C_{2}=1-(-1)=2.

Passo 8

Escrever a solução particular com os coeficientes determinados:
y(x)=2e^{-x}-e^{-2x}.
Verificação rápida das condições iniciais:
y(0)=2-1=1,\qquad y'(x)=-2e^{-x}+2e^{-2x}\Rightarrow y'(0)=-2+2=0,
que conferem com as condições dadas.
Verificação rápida da EDO (opcional): calcular y''(x)=2e^{-x}-4e^{-2x} e checar
y''+3y'+2y=(2e^{-x}-4e^{-2x})+3(-2e^{-x}+2e^{-2x})+2(2e^{-x}-e^{-2x})=0,
confirmando que a solução satisfaz a EDO.

Resposta

y(x)=2e^{-x}-e^{-2x}

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