Resolva cada uma das EDOs de 2^{\mathrm{a}} ordem a seguir. \left\{\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}+2 y & =0 \\\ y(0) & =1 \\\ \frac{d y}{d x}(0) & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte EDO de 2ª ordem com condições iniciais (aqui peguei todas as informações do enunciado):
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}+2 y =0
Condições iniciais:
y(0)=1,\qquad \frac{d y}{d x}(0)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a EDO e essas condições iniciais.
Passo 2
Método padrão para EDO linear homogênea com coeficientes constantes: tentar uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é uma constante (a ideia é que exponenciais se transformam em múltiplos delas mesmas ao derivar). Calculando derivadas:
Como e^{r x}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e ficar com a equação característica:
r^{2}+3 r+2=0.
Aqui r representa os expoentes da solução tentativa; as raízes dessa equação característica determinam a forma geral da solução.
Passo 3
Resolver a equação quadrática característica:
r^{2}+3 r+2=0.
Fatora-se:
(r+1)(r+2)=0,
logo as raízes são
r=-1,\qquad r=-2.
Passo 4
Como as raízes r=-1 e r=-2 são reais e distintas, a solução geral da EDO homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (explicação rápida: por linearidade da equação, qualquer combinação linear de soluções é também solução).
Passo 5
Vamos calcular a derivada y'(x) para aplicar a condição inicial sobre y'. Diferenciando termo a termo:
\frac{d y}{d x}=y'(x)=-C_{1}e^{-x}-2C_{2}e^{-2x}.
Aqui usei que \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x} e \dfrac{d}{dx}e^{-2x}=-2e^{-2x}.
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.