Resolva as EDOs de 1^{\mathrm{a}} ordem a seguir.
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =y+x^{2} \\\ y(0) & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem com valor inicial:
\begin{cases} \dfrac{dy}{dx}=y+x^{2},\\[4pt] y(0)=0. \end{cases}
O que se pede: encontrar a solução particular y(x) que satisfaz a EDO e a condição inicial.]

Passo 2

Qual método usar? Esta é uma EDO linear de primeira ordem (porque aparece y e sua derivada de forma linear). A forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem é
\dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x. Para resolver usamos o fator integrante \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}. A razão: multiplicando a equação por \mu(x) o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto \mu(x)y (isso vem da regra do produto). Depois integramos ambos os lados.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão. A equação dada é
\dfrac{dy}{dx}=y+x^{2}.
Subtraindo y de ambos os lados:
\dfrac{dy}{dx}-y=x^{2}.
Assim, identificamos
P(x)=-1,\qquad Q(x)=x^{2}.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Explicação rápida: \mu(x) é escolhida assim porque depois de multiplicar pela \mu teremos uma expressão do tipo \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=e^{-x}:
e^{-x}\dfrac{dy}{dx}-e^{-x}y=x^{2}e^{-x}.
Agora verificar que o lado esquerdo é a derivada do produto:
\dfrac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{-x}\dfrac{dy}{dx}+y\cdot\dfrac{d}{dx}\big(e^{-x}\big) = e^{-x}\dfrac{dy}{dx}+y\cdot(-e^{-x})=e^{-x}\dfrac{dy}{dx}-e^{-x}y.
Portanto podemos escrever
\dfrac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=x^{2}e^{-x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y=\int x^{2}e^{-x}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora calculamos a integral \displaystyle \int x^{2}e^{-x}\,dx por partes (duas vezes).
Fazer a primeira integração por partes: escolha u=x^{2}, dv=e^{-x}dx. Então du=2x\,dx, v=-e^{-x}. Assim
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + \int 2x e^{-x}\,dx.
Calcular agora \displaystyle \int 2x e^{-x}\,dx = 2\int x e^{-x}\,dx. Para \int x e^{-x}\,dx faça outra vez por partes: tome u=x, dv=e^{-x}dx, então du=dx, v=-e^{-x}. Logo
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C.
Multiplicando por 2:
\int 2x e^{-x}\,dx = -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C.
Voltando à integral original:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} +\big(-2x e^{-x} - 2 e^{-x}\big) + C.
Fatorando -e^{-x}:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -(x^{2}+2x+2)\,e^{-x} + C.

Passo 7

Substituindo na expressão para e^{-x}y:
e^{-x}y = -(x^{2}+2x+2)\,e^{-x} + C.
Multiplicando por e^{x}:
y = -(x^{2}+2x+2) + C e^{x}.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=0:
0 = -(0^{2}+2\cdot 0+2) + C e^{0} = -2 + C\cdot 1,
logo C=2.
Assim a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)= -\big(x^{2}+2x+2\big) + 2e^{x}.

Resposta

y(x)=2e^{x}-x^{2}-2x-2

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