O que se pede: encontrar a solução particular y(x) que satisfaz a EDO e a condição inicial.]
Passo 2
Qual método usar? Esta é uma EDO linear de primeira ordem (porque aparece y e sua derivada de forma linear). A forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem é
\dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x. Para resolver usamos o fator integrante \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}. A razão: multiplicando a equação por \mu(x) o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto \mu(x)y (isso vem da regra do produto). Depois integramos ambos os lados.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão. A equação dada é
\dfrac{dy}{dx}=y+x^{2}.
Subtraindo y de ambos os lados:
\dfrac{dy}{dx}-y=x^{2}.
Assim, identificamos
P(x)=-1,\qquad Q(x)=x^{2}.
Passo 4
Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Explicação rápida: \mu(x) é escolhida assim porque depois de multiplicar pela \mu teremos uma expressão do tipo \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=e^{-x}:
e^{-x}\dfrac{dy}{dx}-e^{-x}y=x^{2}e^{-x}.
Agora verificar que o lado esquerdo é a derivada do produto:
Calcular agora \displaystyle \int 2x e^{-x}\,dx = 2\int x e^{-x}\,dx. Para \int x e^{-x}\,dx faça outra vez por partes: tome u=x, dv=e^{-x}dx, então du=dx, v=-e^{-x}. Logo
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C.