Resolva cada uma das EDOs de 2^{\mathrm{a}} ordem a seguir. \left\{\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y & =0 \\\ y(0) & =1 \\\ \frac{d y}{d x}(0) & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Especificamente:
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Observação sobre o tipo de equação e o método que vamos usar (explicado passo a passo):
A equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes. Para esse tipo usamos o método do polinômio característico (também chamado de equação característica).
A ideia: procurar soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo essa forma na equação, obtemos um polinômio em r (o polinômio característico). As raízes desse polinômio determinam a forma geral das soluções.
Vou mostrar cada etapa do cálculo do polinômio característico e como obter a solução geral.
Passo 3
Formamos o polinômio característico substituindo y=e^{r x}. Para y=e^{r x} temos \dfrac{dy}{dx}=r e^{r x} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^{2} e^{r x}. Substituindo na EDO:
r^{2} e^{r x} - 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0, dividimos e obtemos a equação característica:
r^{2} - 4r + 4 = 0.
Passo 4
Resolvendo a equação característica. Calculamos o discriminante:
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
r = \frac{4}{2} = 2.
Quando a raiz r é dupla (r=2 com multiplicidade 2), a forma geral das soluções da EDO homogênea é
y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2}x\bigr) e^{r x}.
Aqui C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais e r=2. Então a solução geral é
y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2}x\bigr) e^{2x}.
Comentário rápido (por que aparece o termo x e^{rx}?): quando há raiz dupla, a segunda solução linearmente independente pode ser obtida por redução de ordem e resulta em x e^{r x}. Não precisa decorar sem entender, mas esta é a regra padrão para raízes repetidas.
Passo 5
Agora vamos aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro calculamos a derivada de y(x). Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Para
Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=-2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x) = \bigl(1 - 2x\bigr) e^{2x}.
Podemos, se quiser, verificar rapidamente que essa função realmente satisfaz a EDO porque foi construída a partir da raiz do polinômio característico; a verificação algébrica direta daria 0 para \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4\dfrac{dy}{dx} + 4y.