Resolva as EDOs de 1^{\mathrm{a}} ordem a seguir. \left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =y+\cos x \\\ y(0) & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial e pede a solução da EDO:
Equação diferencial: \dfrac{d y}{d x}=y+\cos x.
Condição inicial: y(0)=0.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Transformar a equação para a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem. Subtraindo y de ambos os lados,
\frac{d y}{d x}-y=\cos x.
Aqui temos uma equação do tipo
\frac{d y}{d x}+p(x)\,y=q(x),
com p(x)=-1 e q(x)=\cos x.
Explicando o método (passo a passo): para uma equação linear de primeira ordem \dfrac{d y}{d x}+p(x)y=q(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Multiplicar a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y(x), isto é,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y(x)\big)=\mu(x)q(x).
A partir daí integra-se ambos os lados para obter \mu(x)y(x)=\int \mu(x)q(x)\,dx + C e finalmente y(x)=\dfrac{1}{\mu(x)}\big(\int \mu(x)q(x)\,dx + C\big).
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso: p(x)=-1, então