Resolva as EDOs de 1^{\mathrm{a}} ordem a seguir.
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =y+\cos x \\\ y(0) & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial e pede a solução da EDO:
  • Equação diferencial: \dfrac{d y}{d x}=y+\cos x.
  • Condição inicial: y(0)=0.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Transformar a equação para a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem. Subtraindo y de ambos os lados,
\frac{d y}{d x}-y=\cos x.
Aqui temos uma equação do tipo
\frac{d y}{d x}+p(x)\,y=q(x),
com p(x)=-1 e q(x)=\cos x.
Explicando o método (passo a passo): para uma equação linear de primeira ordem \dfrac{d y}{d x}+p(x)y=q(x) define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Multiplicar a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y(x), isto é,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y(x)\big)=\mu(x)q(x).
A partir daí integra-se ambos os lados para obter \mu(x)y(x)=\int \mu(x)q(x)\,dx + C e finalmente y(x)=\dfrac{1}{\mu(x)}\big(\int \mu(x)q(x)\,dx + C\big).

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso: p(x)=-1, então
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -1\,dx\Big)=\exp(-x)=e^{-x}.
Multiplicando a equação original por e^{-x} obtemos
e^{-x}\frac{d y}{d x}-e^{-x}y=e^{-x}\cos x.
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{-x}\cos x.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y=\int e^{-x}\cos x\,dx + C.
Agora precisamos calcular a integral \displaystyle \int e^{-x}\cos x\,dx. Vou fazer por partes (duas vezes) — método: \int u\,dv = u v - \int v\,du.
Defina
I=\int e^{-x}\cos x\,dx.
Escolha u=e^{-x} e dv=\cos x\,dx. Então du=-e^{-x}dx e v=\sin x. Aplicando partes:
I=e^{-x}\sin x - \int \sin x\cdot(-e^{-x})\,dx = e^{-x}\sin x + \int e^{-x}\sin x\,dx.
Chame a nova integral de
J=\int e^{-x}\sin x\,dx.
Calcule J por partes: escolha u=e^{-x}, dv=\sin x\,dx. Então du=-e^{-x}dx e v=-\cos x. Assim
J = e^{-x}(-\cos x) - \int (-\cos x)(-e^{-x})\,dx = -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\cos x\,dx.
Observa-se que \int e^{-x}\cos x\,dx = I, então
J = -e^{-x}\cos x - I.
Volte para a expressão de I:
I = e^{-x}\sin x + J = e^{-x}\sin x + \big(-e^{-x}\cos x - I\big).
Portanto
I = e^{-x}\sin x - e^{-x}\cos x - I.
Somando I dos dois lados:
2I = e^{-x}(\sin x - \cos x).
Logo
I=\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x) + C_1,
onde C_1 é constante de integração (que será absorvida pela constante geral C já presente).

Passo 5

Substituindo o valor de I em e^{-x}y=\int e^{-x}\cos x\,dx + C obtemos
e^{-x}y=\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x)+C.
Multiplicando ambos os lados por e^{x},
y=\frac{1}{2}(\sin x - \cos x) + C e^{x}.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=0. Avaliando em x=0:
0 = y(0)=\frac{1}{2}(\sin 0 - \cos 0) + C e^{0} = \frac{1}{2}(0-1)+C = -\frac{1}{2}+C.
Logo C=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo C=\dfrac{1}{2} na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{1}{2}\big(\sin x - \cos x\big) + \frac{1}{2}e^{x}.
Podemos também escrever de forma mais compacta:
y(x)=\frac{1}{2}\big(e^{x}+\sin x-\cos x\big).

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}\big(e^{x}+\sin x-\cos x\big)

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