Resolva cada equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é uma equação de Euler–Cauchy não homogênea. Vamos primeiro resolver a parte homogênea associada e depois encontrar uma solução particular.
Passo 2
Para a solução homogênea, fazemos o “ansatz”
Então
Substituindo em
obtemos a equação característica:
Passo 3
A equação característica fica
Logo as raízes são complexas conjugadas
, e a solução homogênea é
com
constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
para o termo não homogêneo
. Como o lado direito é um monômio em
, tentamos
Então
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação original:
deve ser igual a
. Logo
Passo 6
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
onde
e
são constantes de integração.