Resolva cada equação diferencial dada.
x^2 y^prime prime+1 x y^prime+8 y=x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^2y'' + x,y' + 8y = x^2,
que é uma equação de Euler–Cauchy não homogênea. Vamos primeiro resolver a parte homogênea associada e depois encontrar uma solução particular.

Passo 2

Para a solução homogênea, fazemos o “ansatz”
yh = x^m
Então
yh' = m,x^m-1, yh'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo em x^2y'' + x,y' +8y=0 obtemos a equação característica:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] + xl[mx^m-1r] +8,x^m =0 ;Longrightarrow; m(m-1)+m+8=0

Passo 3

A equação característica fica
m^2+8=0 ;Longrightarrow; m=pm i,2raiz2
Logo as raízes são complexas conjugadas m=pmi2raiz2, e a solução homogênea é
yh = C1cosl(2raiz2,ln xr) + C2sinl(2raiz2,ln xr),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular yp para o termo não homogêneo x^2. Como o lado direito é um monômio em x, tentamos
yp = A,x^2
Então
yp' = 2A,x, yp'' = 2A

Passo 5

Substituindo yp, yp' e yp'' na equação original:
x^2(2A) + x(2A,x) + 8(A,x^2) = (2A+2A+8A),x^2 =12A,x^2
deve ser igual a x^2. Logo
12A,x^2 = x^2 ;Longrightarrow; 12A = 1 ;Longrightarrow; A = tfrac112

Passo 6

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1cosl(2raiz2,ln xr) + C2sinl(2raiz2,ln xr) +112,x^2

Resposta

boxedy(x) = C1cosl(2raiz2,ln xr) + C2sinl(2raiz2,ln xr) +112,x^2,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Exercícios relacionados