Resolva os problemas de valores iniciais:
dydx+2 y=32 ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem:
dydx + 2,y = 32, y(0)=0
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = e^integral 2,dx = e^2x
Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
e^2xdydx + 2,e^2xy = 32,e^2x

Passo 3

Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto e^2xy:
ddxl(e^2xyr) = 32,e^2x
Integrando ambos os lados em relação a x, temos
e^2xy = integral 32,e^2x,dx = 16,e^2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, obtemos
y = 16 + C,e^-2x
Usando a condição inicial y(0)=0, tem-se
0 = 16 + C Longrightarrow C = -16

Passo 5

Substituindo C na expressão geral, a solução do problema de valor inicial é
y(x) = 16 - 16,e^-2x

Resposta

y(x) = 16 - 16,e^-2x

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