Resolva cada equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros. Defina intervalo no qual cada solução geral é válida.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^-x ln x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y=e^-xln x
O método será: (i) resolver a parte homogênea, (ii) aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular yp, (iii) montar a solução geral y=yh+yp. Note que a presença de ln x exige x>0.

Passo 2

Resolver a homogênea
y''-2y'+y=0
A característica é
r^2-2r+1=(r-1)^2=0implies r=1 (mu<iplicidade 2)
Logo as soluções fundamentais são
y1(x)=e^x, y2(x)=x e^x,
e
yh(x)=C1e^x+C2,x e^x

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(x)= y1 & y2 y1'&y2' =e^xl(e^x(1+x)r)-e^xl(xe^xr) =e^2x
e da função não homogênea
g(x)=e^-xln x
A fórmula dá
yp=-y1integraly2,gW,dx;+;y2integraly1,gW,dx

Passo 4

Calcular as duas integrais:
Por partes (e usando ) obtém-se

Passo 5

Substituindo em
e simplificando chega-se a
Portanto a solução geral é

Resposta

válida em .

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