Um sistema massa-mola horizontal é formado por um corpo de massa e uma mola de constante , e descreve um MHS com amplitude A. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro de massa cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura e gruda no bloco. (a) Calcule a nova amplitude e o novo período. (b) Repita a parte (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no momento em que ele está na extremidade de sua trajetória.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa–mola horizontal com massa inicial M, constante elástica K e amplitude A1. Em seguida, uma massa m gruda no bloco, de forma inelástica, em dois instantes distintos: (a) quando o bloco passa pela posição de equilíbrio (velocidade máxima) e (b) quando está em uma extremidade (velocidade nula). Vamos usar conservação de quantidade de movimento na colisão e as fórmulas de MHS para período e amplitude após a colisão.

Passo 2

Antes da colisão o sistema tem frequência angular
omega1 = raizKM
e período
T1 = 2piraizMK
Na passagem pela posição de equilíbrio a velocidade do bloco é máxima e vale
vmax = omega1 A1 = A1raizKM

Passo 3

(a) Colisão em equilíbrio. Como não há forças horizontais externas durante o impacto, a quantidade de movimento se conserva:
M,vmax = (M + m),v'
Logo a velocidade imediatamente após a colisão é
v' = MM+m,vmax = MM+m,A1raizKM

Passo 4

Após a colisão a nova frequência angular é
omega2 = raizKM+m
e a nova amplitude A2 satisfaz
v' = omega2,A2
Substituindo v' e omega2,
A2 = v'omega2 = MM+m,A1raizKM raizKM+m = A1raizMM+m

Passo 5

O novo período após a colisão em (a) é
T2 = 2piraizM+mK

Passo 6

(b) Colisão na extremidade. Nesse instante a velocidade do bloco é nula ( v=0), então após a colisão continua nula ( v'=0) e o sistema permanece no ponto máximo de extensão, logo a amplitude não se altera:
A2 = A1
O período, porém, muda pelo acréscimo de massa, ficando
T2 = 2piraizM+mK

Resposta

a) A2=A1raizMM+m e T2=2piraizM+mK
b) A2=A1 e T2=2piraizM+mK

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