Resolva a equação diferencial.
(x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada. As informações fornecidas são:
x^{2}y''-2y=0.
Ou seja: é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes que dependem de x. Não há condições iniciais fornecidas, portanto buscamos a solução geral válida para x\neq 0.

Passo 2

Vamos escolher um método: quando a equação tem a forma
x^{2}y''+a x y'+b y=0
é comum usar a técnica de Euler–Cauchy (também chamada equação de Euler), que tenta soluções do tipo potência
y=x^{m}.
Aqui temos a=0 e b=-2, e os coeficientes são monômios em x, então essa técnica é a mais direta. Vou explicar por que isso funciona: se y=x^{m}, as derivadas são polinomiais em x^{m-1} e x^{m-2}, e ao multiplicar por x^{2} todos os termos ficam proporcionais a x^{m}, o que leva a uma equação algébrica para m (a chamada equação indicial).

Passo 3

Assumimos
y=x^{m}.
Calculemos as derivadas (mostrando passo a passo):
y' = \frac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1},
y'' = \frac{d}{dx}(m x^{m-1})=m(m-1)x^{m-2}.

Passo 4

Substituímos y e y'' na equação original:
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr)-2x^{m}=0.
Simplificando o fator x^{m} (como x^{2}x^{m-2}=x^{m}) obtemos a equação algébrica para m:
m(m-1)-2=0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para m:
m^{2}-m-2=0.
Fatorando:
(m-2)(m+1)=0.
Logo as raízes são
m_{1}=2,\qquad m_{2}=-1.

Passo 6

Como as duas raízes m_{1} e m_{2} são reais e distintas, a teoria da equação de Euler diz que a solução geral é combinação linear das potências correspondentes:
y=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}}.
Substituindo os valores de m temos
y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 7

Comentário e verificação rápida: podemos checar substituindo a solução na equação original. Tomando
y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1},
temos
y''=C_{1}\cdot 2\cdot 1\;x^{0}+C_{2}\cdot(-1)\cdot(-2)\;x^{-3}=2C_{1}+2C_{2}x^{-3}.
Então
x^{2}y''=x^{2}(2C_{1}+2C_{2}x^{-3})=2C_{1}x^{2}+2C_{2}x^{-1}.
E
-2y=-2(C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1})=-2C_{1}x^{2}-2C_{2}x^{-1}.
Somando os dois termos obtemos zero, confirmando que a expressão satisfaz a equação para x\neq 0.

Passo 8

Observações práticas para prova: escreva que a solução é válida para x\neq 0. Se preferir, para x>0 pode reescrever x^{-1}=1/x; para combinar intervalos negativos e positivos tomamos cuidado com potências não inteiras (aqui são inteiras, então não há problema). No tempo de prova, o procedimento é: assumir y=x^{m}, derivar, substituir, obter a equação indicial, resolver para m e montar a combinação linear.

Resposta

y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1}

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