Resolva a equação diferencial.
(x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0)
(x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada. As informações fornecidas são:
Ou seja: é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes que dependem de
. Não há condições iniciais fornecidas, portanto buscamos a solução geral válida para
.
Passo 2
Vamos escolher um método: quando a equação tem a forma
é comum usar a técnica de Euler–Cauchy (também chamada equação de Euler), que tenta soluções do tipo potência
Aqui temos
e
, e os coeficientes são monômios em
, então essa técnica é a mais direta. Vou explicar por que isso funciona: se
, as derivadas são polinomiais em
e
, e ao multiplicar por
todos os termos ficam proporcionais a
, o que leva a uma equação algébrica para
(a chamada equação indicial).
Passo 3
Assumimos
Calculemos as derivadas (mostrando passo a passo):
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando o fator
(como
) obtemos a equação algébrica para
:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para
:
Fatorando:
Logo as raízes são
Passo 6
Como as duas raízes
e
são reais e distintas, a teoria da equação de Euler diz que a solução geral é combinação linear das potências correspondentes:
Substituindo os valores de
temos
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Comentário e verificação rápida: podemos checar substituindo a solução na equação original. Tomando
temos
Então
E
Somando os dois termos obtemos zero, confirmando que a expressão satisfaz a equação para
.
Passo 8
Observações práticas para prova: escreva que a solução é válida para
. Se preferir, para
pode reescrever
; para combinar intervalos negativos e positivos tomamos cuidado com potências não inteiras (aqui são inteiras, então não há problema). No tempo de prova, o procedimento é: assumir
, derivar, substituir, obter a equação indicial, resolver para
e montar a combinação linear.