Resolva cada uma das equaçeis diferenciás aboix.
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\ln (x+y+1)}-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln\bigl(x+y+1\bigr)} - 1.
O conteúdo aqui é método de substituição para tornar a equação separável. Vamos introduzir uma nova variável que simplifique o argumento do logaritmo.

Passo 2

Definimos
u = x + y + 1.
Como y = u - x - 1, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1.
Substituindo na equação original:
\frac{du}{dx} - 1 = \frac{1}{\ln(u)} - 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = \frac{1}{\ln(u)}.

Passo 3

Agora a equação está separável:
\ln(u)\,du = dx.
Integramos ambos os lados:
\int \ln(u)\,du = \int dx \;\Longrightarrow\; u\ln(u) - u = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável original u = x + y + 1, obtemos a solução implícita:
\bigl(x + y + 1\bigr)\ln\bigl(x + y + 1\bigr) - \bigl(x + y + 1\bigr) = x + C.

Resposta

(x + y + 1)\,\ln(x + y + 1) - (x + y + 1) = x + C,
onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados