Resolva o soguinte problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}+(\tan x) y=\operatorname{sec} x, y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial:
\frac{dy}{dx} + (\tan x)\,y = \operatorname{sec} x,\quad y(0)=1.
O conteúdo aqui é “EDO linear de 1º ordem” e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Identificamos P(x)=\tan x. O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int \tan x\,dx} = e^{-\ln\lvert \cos x\rvert} = \operatorname{sec} x.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por \mu(x)=\operatorname{sec} x:
\operatorname{sec} x\frac{dy}{dx} + \operatorname{sec} x\tan x\,y = \operatorname{sec}^2 x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \operatorname{sec} x\cdot y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\;y\bigr) = \operatorname{sec} x\,\frac{dy}{dx} + (\operatorname{sec} x\tan x)\,y.
Logo a equação torna-se
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\;y\bigr) = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Integramos em relação a x:
\operatorname{sec} x\;y = \int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Despejamos y:
y = \frac{\tan x + C}{\operatorname{sec} x} = \tan x\cos x + C\cos x = \sin x + C\cos x.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
y(0) = \sin0 + C\cos0 = 0 + C\cdot1 = C = 1.
Portanto C=1.

Resposta

y(x) = \sin x + \cos x.

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