Resolva cada uma das equações diferenciais abaixo, encontrando um fator integrante que é uma função de uma única variável.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total
e pede para encontrar um fator integrante que seja função de uma única variável e, em seguida, resolver a equação. O conteúdo principal é o teste de exatidão de uma forma diferencial e a busca de um fator integrante de tipo
ou
.
Passo 2
Para verificar se a equação é exata, definimos
Calculamos as derivadas parciais
que não coincidem. Logo, a equação não é exata e precisamos de um fator integrante.
Passo 3
Testamos primeiro se existe
tal que
dependa só de
. Temos
que depende de
, então não serve. Agora testamos se existe
com
função só de
. Calculamos
que depende apenas de
. Assim
Para simplificar, usamos
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
onde
Verificamos a exatidão:
logo é exata. Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em
:
igualando a
:
Portanto
Resposta
O fator integrante é
e a solução geral, na forma implícita, é
onde
é constante.