Resolva cada uma das equações diferenciais abaixo, encontrando um fator integrante que é uma função de uma única variável.
2 x y d x+(y^2-x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total
2xy,dx + l(y^2-x^2r),dy = 0
e pede para encontrar um fator integrante que seja função de uma única variável e, em seguida, resolver a equação. O conteúdo principal é o teste de exatidão de uma forma diferencial e a busca de um fator integrante de tipo mu(x) ou mu(y).

Passo 2

Para verificar se a equação é exata, definimos
M(x,y) = 2xy, N(x,y) = y^2-x^2
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 2x, partial Npartial x = -2x,
que não coincidem. Logo, a equação não é exata e precisamos de um fator integrante.

Passo 3

Testamos primeiro se existe mu(x) tal que
1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr)
dependa só de x. Temos
2x - (-2x)y^2-x^2 =4xy^2-x^2,
que depende de y, então não serve. Agora testamos se existe mu(y) com
1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr)
função só de y. Calculamos
-2x - 2x2xy =-4x2xy =-2y,
que depende apenas de y. Assim
mu(y)=exp!l(integral -2y,dyr) =exp(-2ln|y|) =|y|^-2
Para simplificar, usamos mu(y)=y^-2.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y)=y^-2, obtendo
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy=0,
onde
M^*(x,y)=2xyy^2=2xy, N^*(x,y)=y^2-x^2y^2=1-x^2y^2
Verificamos a exatidão:
partial M^*partial y =-2xy^2, partial N^*partial x =-2xy^2,
logo é exata. Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = 2xy, psiy = 1-x^2y^2
Integramos psix em relação a x:
psi(x,y)=integral 2xy,dx =x^2y+h(y)
Derivando em y:
psiy =-x^2y^2+h'(y),
igualando a N^*:
-x^2y^2+h'(y) =1-x^2y^2 ;Longrightarrow; h'(y)=1 ;Longrightarrow; h(y)=y
Portanto
psi(x,y)=x^2y+y

Resposta

O fator integrante é mu(y)=y^-2 e a solução geral, na forma implícita, é
x^2y+y=C,
onde C é constante.

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