1. Verifique que a equação diferencial abaixo é exata, e resolva-a.
(e^x sen y+tg y) d x+(e^x cos y+x sec ^2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
l(e^xsin y+tan yr),dx+l(e^xcos y+xsec^2yr),dy=0
é exata e, em seguida, resolvê-la encontrando uma função potencial psi(x,y) tal que psix=M e psiy=N. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas.

Passo 2

Denotamos
M(x,y)=e^xsin y+tan y, N(x,y)=e^xcos y+xsec^2y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =e^xcos y+sec^2y, partial Npartial x =e^xcos y+sec^2y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial psi(x,y) satisfazendo psix=M, integramos M em relação a x:
psi(x,y) =integrall(e^xsin y+tan yr),dx =e^xsin y + xtan y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos psiy=N. Calculando
psiy =e^xcos y + xsec^2y + h'(y)
e comparando com N(x,y)=e^xcos y + xsec^2y, concluímos que
h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=constante

Passo 5

Portanto, a função potencial pode ser tomada como
psi(x,y)=e^xsin y + xtan y
e a solução geral da equação diferencial exata é
psi(x,y)=C

Resposta

e^xsin y + xtan y = C

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