Resolva cada uma das equações diferenciais abaixo, encontrando um fator integrante que é uma função de uma única variável.
(y ln y+y e^x) d x+(x+y cos y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(yln y + y e^xr),dx + l(x + ycos yr),dy = 0
que não é exata. Vamos usar o método de fatores integrantes que dependem de uma única variável. Lembramos que, se
partial N/partial x - partial M/partial yM
depender somente de y, então existe um fator integrante mu(y) tal que
mu'(y)mu(y) =partial N/partial x - partial M/partial yM

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=yln y + y e^x, N(x,y)=x + ycos y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =ln y + 1 + e^x, partial Npartial x=1
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos um fator integrante mu(y) pelo quociente
partial N/partial x - partial M/partial yM =1 - (ln y +1 + e^x)yln y + y e^x =-(ln y + e^x)y(ln y + e^x) =-1y,
que depende só de y. Logo
mu(y) =exp!l(integral -tfrac1y,dyr) =1y

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(y)=1/y, obtemos
(ln y + e^x),dx + l(tfracxy + cos yr),dy = 0
Chamando
M^*(x,y)=ln y + e^x, N^*(x,y)=xy + cos y,
verificamos
partial M^*partial y=1y, partial N^*partial x=1y,
logo a nova equação é exata.

Passo 5

Procuramos F(x,y) tal que
partial Fpartial x =M^*(x,y)=ln y + e^x
Integrando em x:
F(x,y)=xln y + e^x + h(y)
Então
partial Fpartial y =xy + h'(y)
deve ser igual a N^*(x,y)=tfracxy+cos y. Assim
h'(y)=cos y Longrightarrow h(y)=sin y
Portanto
F(x,y)=xln y + e^x + sin y

Resposta

O fator integrante é mu(y)=1/y e a solução geral está dada implicitamente por
xln y + e^x + sin y = C

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