Resolva cada uma das equações diferenciais abaixo, encontrando um fator integrante que é uma função de uma única variável.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que não é exata. Vamos usar o método de fatores integrantes que dependem de uma única variável. Lembramos que, se
depender somente de
, então existe um fator integrante
tal que
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos um fator integrante
pelo quociente
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Chamando
verificamos
logo a nova equação é exata.
Passo 5
Procuramos
tal que
Integrando em
:
Então
deve ser igual a
. Assim
Portanto
Resposta
O fator integrante é
e a solução geral está dada implicitamente por