Resolva cada inequação:
\frac{|\cos x-1| \cdot \ln x}{x-\pi}<0, \quad sabendo que f(x)=\cos x está definido somente em [-\pi, 3 \pi].

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: resolver a inequação \dfrac{|\cos x-1|\cdot \ln x}{x-\pi}<0, sabendo que f(x)=\cos x está definido somente em [- \pi, 3\pi].
  • Informações relevantes que o enunciado fornece:
    • O cosseno está considerado apenas no intervalo [- \pi, 3\pi].
    • A função \ln x só está definida para x>0.
    • O denominador x-\pi não pode ser zero (ou seja, x\neq\pi).
  • Pergunta: determinar os x (dentro do domínio válido) que tornam a expressão estritamente negativa.
A resolução começa agora.

Passo 2

Determinar o domínio onde a expressão está bem definida (antes de pensar em sinais).
  • Como \cos x foi restringido a [- \pi, 3\pi] e \ln x exige x>0, a interseção dá x\in(0,3\pi].
  • Além disso, x\neq\pi porque o denominador se anula em x=\pi.
  • Logo o domínio a considerar é (0,\pi)\\ \cup\\ (\pi,3\pi].
Também é útil identificar onde o numerador é zero: |\cos x-1|=0 quando \cos x=1, isto é, quando x=2k\pi. Dentro de (0,3\pi] isso ocorre em x=2\pi. Nesses pontos o numerador fica zero e a fração vale 0 (desde que o denominador não seja zero), mas a inequação é estrita (<0), portanto pontos onde a expressão vale 0 não são solução.

Passo 3

Analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente:
  • A função valor absoluto |\cos x-1| é sempre não negativa. Explicando: |y|\ge 0 para todo y, e |y|=0 somente quando y=0. Aqui |\cos x-1|=0 se e só se \cos x=1 (já identifiquei que isso ocorre em x=2\pi no nosso domínio).
  • Para pontos com \cos x\neq1 temos |\cos x-1|>0. Nesses pontos o sinal do numerador |\cos x-1|\cdot \ln x é exatamente o sinal de \ln x (produto de número positivo por \ln x).
  • O denominador x-\pi tem sinal:
    • negativo quando x<\pi,
    • zero em x=\pi (excluído),
    • positivo quando x>\pi.
Portanto, para x com \cos x\neq1 a inequação reduz-se à análise de sinal de
\frac{\ln x}{x-\pi}<0.

Passo 4

Resolver a inequação de sinais \dfrac{\ln x}{x-\pi}<0 (lembrando as restrições do domínio e excluindo pontos em que o numerador ou denominador se anulam).
  • Primeiro, localizar onde \ln x é positiva, negativa ou zero:
    • \ln x>0 quando x>1.
    • \ln x=0 quando x=1.
    • \ln x<0 quando 0<x<1.
  • Para que a razão \dfrac{\ln x}{x-\pi} seja negativa, é necessário que \ln x e x-\pi tenham sinais opostos.
Analisar as opções:
  1. Se \ln x>0 (ou seja x>1), para ter a fração negativa precisamos de x-\pi<0, ou seja x<\pi. Interseção: x\in(1,\pi). Verificar se há pontos proibidos aí: x=\pi está fora; \cos x=1 (que anula o numerador) acontece em x=2\pi, que não está em (1,\pi). Então todos os x\in(1,\pi) são admissíveis e satisfazem a inequação.
  2. Se \ln x<0 (ou seja 0<x<1), para ter a fração negativa precisaríamos de x-\pi>0 (ou seja x>\pi), o que é impossível simultaneamente com x<1. Portanto não há soluções nessa faixa.
  3. Se \ln x=0 (ou seja x=1), o numerador é zero e a fração vale 0 (desde que o denominador seja finito), mas a inequação é estrita <0, então x=1 não é solução.
  4. Pontos com |\cos x-1|=0 (isto é x=2\pi) dão numerador zero e, portanto, não satisfazem a inequação estrita. Além disso 2\pi>\pi então na região x>\pi a fração seria não negativa.
Conclusão da análise de sinais: a única faixa que torna a expressão estritamente negativa é
x\in(1,\pi).

Resposta

(1,\pi)

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