Resolva cada inequação:
sabendo que
está definido somente em
.
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado: resolver a inequação
, sabendo que está definido somente em . - Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O cosseno está considerado apenas no intervalo
. - A função
só está definida para . - O denominador
não pode ser zero (ou seja, ).
- O cosseno está considerado apenas no intervalo
- Pergunta: determinar os
(dentro do domínio válido) que tornam a expressão estritamente negativa.
A resolução começa agora.
Passo 2
Determinar o domínio onde a expressão está bem definida (antes de pensar em sinais).
- Como
foi restringido a e exige , a interseção dá . - Além disso,
porque o denominador se anula em . - Logo o domínio a considerar é
Também é útil identificar onde o numerador é zero:
quando
, isto é, quando
. Dentro de
isso ocorre em
. Nesses pontos o numerador fica zero e a fração vale
(desde que o denominador não seja zero), mas a inequação é estrita
, portanto pontos onde a expressão vale
não são solução.
Passo 3
Analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente:
- A função valor absoluto
é sempre não negativa. Explicando: para todo , e somente quando . Aqui se e só se (já identifiquei que isso ocorre em no nosso domínio). - Para pontos com
temos . Nesses pontos o sinal do numerador é exatamente o sinal de (produto de número positivo por ). - O denominador
tem sinal: - negativo quando
, - zero em
(excluído), - positivo quando
.
- negativo quando
Portanto, para
com
a inequação reduz-se à análise de sinal de
Passo 4
Resolver a inequação de sinais
(lembrando as restrições do domínio e excluindo pontos em que o numerador ou denominador se anulam).
-
Primeiro, localizar onde
é positiva, negativa ou zero: -
quando . -
quando . -
quando .
-
-
Para que a razão
seja negativa, é necessário que e tenham sinais opostos.
Analisar as opções:
-
Se
(ou seja ), para ter a fração negativa precisamos de , ou seja . Interseção: . Verificar se há pontos proibidos aí: está fora; (que anula o numerador) acontece em , que não está em . Então todos os são admissíveis e satisfazem a inequação. -
Se
(ou seja ), para ter a fração negativa precisaríamos de (ou seja ), o que é impossível simultaneamente com . Portanto não há soluções nessa faixa. -
Se
(ou seja ), o numerador é zero e a fração vale (desde que o denominador seja finito), mas a inequação é estrita , então não é solução. -
Pontos com
(isto é ) dão numerador zero e, portanto, não satisfazem a inequação estrita. Além disso então na região a fração seria não negativa.
Conclusão da análise de sinais: a única faixa que torna a expressão estritamente negativa é