Resolva cada inequação:
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
Informações e observações que o problema dá (anotadas explicitamente):
- A expressão sob a raiz quadrada é
. Para a raiz quadrada real existir, é necessário que . - O denominador é
. - Interpretação da notação: aqui vou interpretar
como a função exponencial , que é sempre estritamente positiva para todo . (Isto é padrão: .) - Como
para todo , o sinal do denominador é o mesmo que o sinal do polinômio . O denominador anula-se exatamente quando ; nesses pontos a expressão original não está definida. - A inequação pede todos os
(reais) que satisfazem a desigualdade e em que a expressão está definida.
Passo 2
Estudar a condição de existência da raiz: resolver
.
Primeiro, procurar raízes reais da função
. Testando
:
portanto
é uma raiz. Fazendo divisão por
obtemos o quociente quadrático:
Analisar o quadrático
: o discriminante é
logo
para todo
(não tem raízes reais). Assim o sinal de
é determinado por
vezes algo sempre positivo. Conclusão:
-
para , -
, -
para .
Portanto a condição de existência da raiz é
Passo 3
Analisar o denominador
.
Como
para todo
, o denominador tem sinal igual ao sinal do polinômio
Resolver
:
Fatorando,
portanto as raízes são
e
. Como o coeficiente de
em
é negativo (
), a parábola abre para baixo. Assim:
-
no intervalo , -
em e em , -
em .
Lembrando que, onde
, o denominador é zero e a expressão não está definida: excluir
e
.
Passo 4
Agora vamos combinar domínio e sinal do numerador/denominador para resolver a inequação. Relembrando:
- Domínio exigido pela raiz:
. - Denominador não pode ser zero:
e (entre estes só interessa porque não pertence ao domínio ). - Numerador
é não negativo: é quando , e quando .
A inequação é
Para uma fração
com
e
, a condição
equivale exatamente a:
-
(então a fração vale , que satisfaz ), ou -
e (então a fração é estritamente negativa).
Vamos aplicar esses dois casos no nosso problema, lembrando o domínio
.
Passo 5
Caso 1:
. Isto é
ocorrendo quando
. Verificar se
está no domínio e se o denominador é diferente de zero em
:
e
. Logo o denominador em
é positivo e diferente de zero; a fração é
. Portanto
satisfaz a inequação.
Caso 2:
e
. Ocorre quando
(para
) e o denominador é negativo. Como o sinal do denominador segue
, queremos
com
. Pelas conclusões do Passo 3,
em
(e também em
, mas este último não interessa porque o domínio exige
). Note que
faz
e deve ser excluído.
Portanto, para
a condição
equivale a
.
Passo 6
Reunindo as soluções válidas dos dois casos e respeitando o domínio:
- Do Caso 1 obtemos
. - Do Caso 2 obtemos todos os
tais que , isto é . O ponto está excluído porque o denominador zera ali.
Não há outras soluções, pois para
temos numerador positivo mas denominador positivo também (já que
em
), de modo que a fração é positiva e não satisfaz
.
Passo 7
Conclusão final: o conjunto solução da inequação é