Resolva cada inequação:
\frac{\sqrt{x^{3}+x^{2}+x-3}}{\left(-x^{2}+x+2\right) \cdot e\left(x^{2}-3\right)} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
\frac{\sqrt{x^{3}+x^{2}+x-3}}{\left(-x^{2}+x+2\right)\cdot e\left(x^{2}-3\right)} \leq 0.
Informações e observações que o problema dá (anotadas explicitamente):
  • A expressão sob a raiz quadrada é \;x^{3}+x^{2}+x-3\;. Para a raiz quadrada real existir, é necessário que \;x^{3}+x^{2}+x-3 \geq 0.
  • O denominador é \;\left(-x^{2}+x+2\right)\cdot e\left(x^{2}-3\right).
  • Interpretação da notação: aqui vou interpretar e\left(x^{2}-3\right) como a função exponencial \;e^{\,x^{2}-3}, que é sempre estritamente positiva para todo x. (Isto é padrão: e^{\text{algo}}>0.)
  • Como e^{\,x^{2}-3}>0 para todo x, o sinal do denominador é o mesmo que o sinal do polinômio \;-x^{2}+x+2. O denominador anula-se exatamente quando -x^{2}+x+2=0; nesses pontos a expressão original não está definida.
  • A inequação pede todos os x (reais) que satisfazem a desigualdade e em que a expressão está definida.

Passo 2

Estudar a condição de existência da raiz: resolver \;x^{3}+x^{2}+x-3 \geq 0.
Primeiro, procurar raízes reais da função f(x)=x^{3}+x^{2}+x-3. Testando x=1:
1^{3}+1^{2}+1-3 = 1+1+1-3 = 0,
portanto x=1 é uma raiz. Fazendo divisão por (x-1) obtemos o quociente quadrático:
x^{3}+x^{2}+x-3 = (x-1)\bigl(x^{2}+2x+3\bigr).
Analisar o quadrático x^{2}+2x+3: o discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot3 = 4-12 = -8 < 0,
logo x^{2}+2x+3>0 para todo x (não tem raízes reais). Assim o sinal de f(x) é determinado por (x-1) vezes algo sempre positivo. Conclusão:
  • f(x)<0 para x<1,
  • f(1)=0,
  • f(x)>0 para x>1.
Portanto a condição de existência da raiz é
x\geq 1.

Passo 3

Analisar o denominador \;D(x)=\left(-x^{2}+x+2\right)\cdot e^{\,x^{2}-3}.
Como \;e^{\,x^{2}-3}>0 para todo x, o denominador tem sinal igual ao sinal do polinômio
p(x) = -x^{2}+x+2.
Resolver p(x)=0:
-x^{2}+x+2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x-2=0.
Fatorando,
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1),
portanto as raízes são x=-1 e x=2. Como o coeficiente de x^{2} em p é negativo ( -1), a parábola abre para baixo. Assim:
  • p(x)>0 no intervalo (-1,2),
  • p(x)=0 em x=-1 e em x=2,
  • p(x)<0 em (-\infty,-1)\cup(2,\infty).
Lembrando que, onde p(x)=0, o denominador é zero e a expressão não está definida: excluir x=-1 e x=2.

Passo 4

Agora vamos combinar domínio e sinal do numerador/denominador para resolver a inequação. Relembrando:
  • Domínio exigido pela raiz: x\geq 1.
  • Denominador não pode ser zero: x\neq -1 e x\neq 2 (entre estes só x=2 interessa porque x=-1 não pertence ao domínio x\geq1).
  • Numerador \sqrt{\,x^{3}+x^{2}+x-3\,} é não negativo: é 0 quando x=1, e >0 quando x>1.
A inequação é
\frac{\sqrt{x^{3}+x^{2}+x-3}}{\left(-x^{2}+x+2\right)e^{\,x^{2}-3}} \leq 0.
Para uma fração \dfrac{A}{B} com A\geq 0 e B\neq 0, a condição \dfrac{A}{B}\leq 0 equivale exatamente a:
  • A=0 (então a fração vale 0, que satisfaz \leq0), ou
  • A>0 e B<0 (então a fração é estritamente negativa).
Vamos aplicar esses dois casos no nosso problema, lembrando o domínio x\geq1.

Passo 5

Caso 1: A=0. Isto é \sqrt{x^{3}+x^{2}+x-3}=0 ocorrendo quando x=1. Verificar se x=1 está no domínio e se o denominador é diferente de zero em x=1:
p(1) = -1^{2}+1+2 = -1+1+2 = 2 \neq 0,
e e^{\,1^{2}-3}=e^{-2}>0. Logo o denominador em x=1 é positivo e diferente de zero; a fração é 0. Portanto x=1 satisfaz a inequação.
Caso 2: A>0 e B<0. Ocorre quando x>1 (para A>0) e o denominador é negativo. Como o sinal do denominador segue p(x), queremos p(x)<0 com x>1. Pelas conclusões do Passo 3, p(x)<0 em (2,\infty) (e também em (-\infty,-1), mas este último não interessa porque o domínio exige x\geq1). Note que x=2 faz p(2)=0 e deve ser excluído.
Portanto, para x>1 a condição B<0 equivale a x>2.

Passo 6

Reunindo as soluções válidas dos dois casos e respeitando o domínio:
  • Do Caso 1 obtemos x=1.
  • Do Caso 2 obtemos todos os x tais que x>2, isto é (2,\infty). O ponto x=2 está excluído porque o denominador zera ali.
Não há outras soluções, pois para 1<x<2 temos numerador positivo mas denominador positivo também (já que p(x)>0 em (-1,2)), de modo que a fração é positiva e não satisfaz \leq0.

Passo 7

Conclusão final: o conjunto solução da inequação é
\{\,1\,\}\cup (2,\infty).

Resposta

\{1\}\cup(2,\infty)

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