Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral d xx^2 cdot(5-x^2)^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
I = integral dxx^2,raiz5-x^2
O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, pois aparece raiz5-x^2. Vamos usar a mudança de variável x=raiz5sintheta.

Passo 2

Fazendo
x = raiz5,sintheta, dx = raiz5,costheta,dtheta, raiz5 - x^2 = raiz5,costheta, x^2 = 5,sin^2theta

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
I = integral raiz5costheta,dtheta(5sin^2theta),(raiz5costheta) = 15integral dthetasin^2theta = 15integral csc^2theta,dtheta

Passo 4

Sabendo que integral csc^2theta,dtheta = -cottheta, concluímos
I = 15l(-cotthetar) + C = -15,cottheta + C

Passo 5

Volta à variável x:
cottheta = costhetasintheta, sintheta = xraiz5, costheta = raiz5-x^2raiz5 ;Longrightarrow; cottheta = raiz5-x^2x
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I = -15,raiz5-x^2x + C

Resposta

I = -raiz5-x^25,x + C

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