Resolva cada uma das integrais a seguir

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^x,tan^2(e^x),dx. O conteúdo principal é técnica de substituição em integrais, já que temos uma função composta tan^2(e^x) multiplicada por e^x.

Passo 2

Fazemos a substituição u = e^x. Então du = e^x,dx. Com isso a integral original se transforma em
integral e^x,tan^2(e^x),dx = integral tan^2(u),du

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica tan^2(u) = sec^2(u) - 1. Assim
integral tan^2(u),du = integral l(sec^2(u) - 1r),du = integral sec^2(u),du - integral du
Sabemos que integral sec^2(u),du = tan(u) e integral du = u. Logo
integral tan^2(u),du = tan(u) - u + C

Passo 4

Voltando à variável original, substituímos u = e^x na expressão obtida. Assim o resultado final é:
tan(e^x) - e^x + C

Resposta

tan(e^x) - e^x + C

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