Resolva cada uma das integrais a seguir

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral e^x tan^4(e^x),dx. O conteúdo envolve substituição simples e uso da identidade trigonométrica tan^2u=sec^2u-1. Vamos precisar aplicar a substituição u=e^x para simplificar a integral e, em seguida, expandir tan^4u em termos de sec^2u.

Passo 2

Fazendo a substituição u=e^x, temos du=e^x,dx. Logo:
integral e^x tan^4(e^x),dx=integral tan^4(u),du

Passo 3

Para integrar tan^4u, usamos a identidade tan^2u=sec^2u-1, então:
tan^4u=(tan^2u)^2=(sec^2u-1)^2=sec^4u-2sec^2u+1

Passo 4

Agora dividimos em três integrais:
integral tan^4u,du=integral sec^4u,du-2integral sec^2u,du+integral 1,du

Passo 5

Para integral sec^4u,du, escrevemos sec^4u=sec^2ucdotsec^2u e notamos que d(tan u)=sec^2u,du. Assim:
integral sec^4u,du=integral sec^2u(sec^2u,du)=integral (1+tan^2u),d(tan u)
Fazendo t=tan u, obtemos
integral (1+t^2),dt=t+t^33=tan u+tan^3u3

Passo 6

As outras integrais são diretas:
integral sec^2u,du=tan u, integral 1,du=u
Portanto:
integral tan^4u,du=l(tan u+tan^3u3r)-2tan u+u=tan^3u3-tan u+u+C

Passo 7

Voltando a u=e^x, a resposta final é:
integral e^xtan^4(e^x),dx=tan^3(e^x)3-tan(e^x)+e^x+C

Resposta

tan^3(e^x)3-tan(e^x)+e^x+C

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