Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z|=\frac{1}{2}
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z|=\frac{1}{2}
Passo 1
Resumo: Queremos calcular
onde o contorno
é o círculo
. O conteúdo é Cauchy e teorema dos resíduos: vamos localizar os polos da função, ver quais estão dentro de
e usar o resultado de que a integral vale
vezes a soma dos resíduos internos.
Passo 2
Determinar os polos da função. Observamos que
, logo os polos simples são
e
.
Passo 3
Verificar quais polos estão dentro de
. Como
é o círculo de raio
centrado na origem, apenas
está dentro; o pólo em
fica fora.
Passo 4
Calcular o resíduo em
usando a fórmula para pólo simples:
Passo 5
Aplicar o teorema dos resíduos (Teorema 5.5.2). A integral vale
vezes a soma dos resíduos dentro de
. Só temos
, portanto: