Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z|=\frac{1}{2}

Passo 1

Resumo: Queremos calcular ointC 2z+5z^2-2z,dz onde o contorno C é o círculo |z|=1/2. O conteúdo é Cauchy e teorema dos resíduos: vamos localizar os polos da função, ver quais estão dentro de C e usar o resultado de que a integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos internos.

Passo 2

Determinar os polos da função. Observamos que z^2-2z=z(z-2), logo os polos simples são z=0 e z=2.

Passo 3

Verificar quais polos estão dentro de C. Como C é o círculo de raio 1/2 centrado na origem, apenas z=0 está dentro; o pólo em z=2 fica fora.

Passo 4

Calcular o resíduo em z=0 usando a fórmula para pólo simples:
Resl(f,0r)=limzto0z2z+5z(z-2)=limzto02z+5z-2=5-2=-52

Passo 5

Aplicar o teorema dos resíduos (Teorema 5.5.2). A integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro de C. Só temos -5/2, portanto:
ointC2z+5z^2-2z,dz=2pi il(-tfrac52r)=-5pi i

Resposta

-5pi i

Exercícios relacionados