Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{z}{(z+i)^{4}} d z ;|z|=2

Passo 1

A gente quer calcular a integral
ointCz(z+i)^4,dz
onde o contorno |z|=2 engloba o ponto singular z=-i. O conteúdo é a aplicação da fórmula integral de Cauchy e da sua forma para derivadas (teoremas 5.5.1 e 5.5.2).

Passo 2

O único ponto singular de f(z)=z(z+i)^4 é z=-i, que fica dentro de |z|=2. Tratamos esse ponto como polo de ordem 4.

Passo 3

Para aplicar a fórmula de Cauchy para derivadas, escrevemos
z(z+i)^4=g(z)(z-(-i))^4,
com g(z)=z. A fórmula diz
ointCg(z)(z-a)^n+1,dz=2pi in!,g^(n)(a)

Passo 4

Aqui temos a=-i e n+1=4, ou seja n=3. Assim
ointCz(z+i)^4,dz=2pi i3!,g^(3)(-i)

Passo 5

Como g(z)=z, suas derivadas são
g'(z)=1, g''(z)=0 e g^(3)(z)=0 para todo z. Logo
g^(3)(-i)=0 e a integral toda cai pra zero.

Resposta

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