Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{e^{-z} \operatorname{sen} z}{z^{3}} d z ;|z-1|=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC e^-zsin zz^3,dz onde C é a circunferência |z-1|=3. O conteúdo envolvido é o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.1) e a fórmula para polos de ordem m (Teorema 5.5.2).

Passo 2

Identificamos singularidades de f(z)=e^-zsin zz^3. A única singularidade é em z=0, que é um polo de ordem 3, e fica dentro de C pois a distância de 0 a 1 é 1, menor que o raio 3.

Passo 3

Pelo Teorema 5.5.1 (Residue Theorem), temos:
ointC f(z),dz = 2pi i sum Res(f,sing dentro de C)
Aqui só temos o resíduo em z=0.

Passo 4

Para calcular o resíduo de um polo de ordem 3 em z=0 aplicamos o Teorema 5.5.2:
Res(f,0) = 12! limzto0 d^2dz^2l[z^3f(z)r]
Como z^3f(z)=e^-zsin z, definimos g(z)=e^-zsin z.

Passo 5

Agora calculamos g''(0):
Calculemos primeiro g'(z)=e^-z(cos z - sin z),
e em seguida
g''(z)=ddzl[e^-z(cos z - sin z)r] = -2e^-zcos z
Logo g''(0)=-2. Portanto
Res(f,0)=12g''(0)=12(-2)=-1

Passo 6

Substituindo na fórmula do Teorema dos Resíduos:
ointC f(z),dz = 2pi i cdot (-1) = -2pi i

Resposta

-2\pi i

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