Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{e^{-z} \operatorname{sen} z}{z^{3}} d z ;|z-1|=3
\oint_{C} \frac{e^{-z} \operatorname{sen} z}{z^{3}} d z ;|z-1|=3
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a circunferência
. O conteúdo envolvido é o Teorema dos Resíduos (Teorema 5.5.1) e a fórmula para polos de ordem
(Teorema 5.5.2).
Passo 2
Identificamos singularidades de
. A única singularidade é em
, que é um polo de ordem 3, e fica dentro de
pois a distância de 0 a 1 é 1, menor que o raio 3.
Passo 3
Pelo Teorema 5.5.1 (Residue Theorem), temos:
Aqui só temos o resíduo em
Passo 4
Para calcular o resíduo de um polo de ordem 3 em
aplicamos o Teorema 5.5.2:
Como
Passo 5
Agora calculamos
:
Calculemos primeiro ,
e em seguida
Calculemos primeiro
e em seguida
Logo
Passo 6
Substituindo na fórmula do Teorema dos Resíduos:
Resposta
-2\pi i