Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{\cos 2 z}{z^{5}} d z ;|z|=1
\oint_{C} \frac{\cos 2 z}{z^{5}} d z ;|z|=1
Passo 1
O exercício pede para calcular
onde
é o círculo
. O conteúdo principal aqui é a Fórmula Integral de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.2). Vamos usar essa fórmula para resolver.
Passo 2
A Fórmula Integral de Cauchy para derivadas diz que, se
é analítica em e dentro de um contorno fechado
e
é um inteiro não negativo, então
Aqui temos
e estamos integrando
, ou seja,
implica
.
Passo 3
Precisamos então identificar
e calcular sua quarta derivada em
. Vamos derivar passo a passo:
Logo,
Passo 4
Substituindo na Fórmula de Cauchy para derivadas, obtemos:
Passo 5
Concluímos então qual é o valor exato da integral usando o Teorema 5.5.2.