Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{\cos 2 z}{z^{5}} d z ;|z|=1

Passo 1

O exercício pede para calcular ointCcos2zz^5,dz onde C é o círculo |z|=1. O conteúdo principal aqui é a Fórmula Integral de Cauchy para derivadas (Teorema 5.5.2). Vamos usar essa fórmula para resolver.

Passo 2

A Fórmula Integral de Cauchy para derivadas diz que, se f(z) é analítica em e dentro de um contorno fechado C e n é um inteiro não negativo, então
ointCf(z)(z-z0)^n+1,dz=2pi in!,f^(n)(z0)
Aqui temos z0=0 e estamos integrando f(z)/z^5=f(z)/(z-0)^5, ou seja, n+1=5 implica n=4.

Passo 3

Precisamos então identificar f(z)=cos2z e calcular sua quarta derivada em z=0. Vamos derivar passo a passo:
f(z)=cos2z
f'(z)=-2sin2z
f''(z)=-4cos2z
f'''(z)=8sin2z
f^(4)(z)=16cos2z
Logo,
f^(4)(0)=16cos0=16

Passo 4

Substituindo na Fórmula de Cauchy para derivadas, obtemos:
ointCcos2zz^5,dz=2pi i4!,f^(4)(0) =2pi i24times16 =32pi i24= 4pi i3

Passo 5

Concluímos então qual é o valor exato da integral usando o Teorema 5.5.2.

Resposta

4pi i3

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