Resolva cada uma das integrais a seguir
\int \sin 3 y \cos 5 y dy

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin(3y)\,\cos(5y)\,dy.
O conteúdo principal envolve técnicas de integração de funções trigonométricas, em particular o uso da identidade de produto para converter em soma de senos.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin(A)\cos(B) = \tfrac12\bigl[\sin(A+B) + \sin(A-B)\bigr].
Tomando A=3y e B=5y, temos
\sin(3y)\cos(5y) = \tfrac12\bigl[\sin(8y)+\sin(-2y)\bigr] = \tfrac12\bigl[\sin(8y)-\sin(2y)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral e integrando termo a termo:
\int \sin(3y)\cos(5y)\,dy = \tfrac12\int \sin(8y)\,dy \;-\;\tfrac12\int \sin(2y)\,dy.
Sabemos que
\int \sin(ky)\,dy = -\tfrac1k\cos(ky) + C.
Logo,
\tfrac12\int \sin(8y)\,dy = \tfrac12\Bigl(-\tfrac1{8}\cos(8y)\Bigr) = -\tfrac1{16}\cos(8y),
-\tfrac12\int \sin(2y)\,dy = -\tfrac12\Bigl(-\tfrac1{2}\cos(2y)\Bigr) = +\tfrac14\cos(2y).

Resposta

-\tfrac1{16}\cos(8y) \;+\;\tfrac14\cos(2y) \;+\; C.

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